Extensiones de cuadrado nulo

Esa es mi traducción de “square-zero extension”… es lo que hay.

Curiosamente, pearece que la homología de Hochschild es algo que se repite estos últimos años en este blog. Supongo que porque es algo que es elemental, que nunca aprendí sistemáticamente, y que sin embargo me veo llevado a entender de tanto en tanto.

A mí este problema se me apareció “en la naturaleza” más o menos así. Fijemos k un anillo conmutativo, A una k-álgebra y M un k-módulo. Olvidando que A tiene un producto, podés formar A\oplus M que es un k-módulo. Ahora bien: dado que A tiene un producto, capaz que este módulo de la forma A\oplus M que encontraste por la vida también tiene un producto… Capaz que podemos deducirlo de la estructura de A, de alguna forma.

Eso es lo que vamos a ver en este post: vamos a clasificar ciertas estructuras de álgebra en A\oplus M que son particularmente simples. Más precisamente, aquellas tales que la proyección de módulos A\oplus M\to A preserva el producto, y tales que M, visto adentro del álgebra A\oplus M, tiene cuadrado nulo (i.e. si multiplicás dos de sus elementos, da cero).

Estas dos condiciones se resumen así: vamos a clasificar las extensiones de A por M que son de cuadrado nulo y que son escindidas (a veces se le llama “Hochschild” a la condición de split).

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Formas diferenciales, diferenciales de Kähler y homología de Hochschild

Ponele que te gusta el lenguaje del álgebra y si lográs algebraizar una definición clásica te quedás contento porque la recordás más fácil. Entonces podés querer hacer eso con el concepto de “forma diferencial” sobre una variedad M. Y si al hacer eso te encontrás con un gran teorema (Hochschild-Kostant-Rosenberg), te quedás aún más contento.

Añado que esto debe ser moralmente posible partiendo como dato algebraico de la \mathbb{R}-álgebra C^\infty(M), pues, en efecto, C^\infty(M) contiene toda la información topológica y geométrica de M (!).

Así que supongamos que sos esa persona y hagamos eso.

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Homología de Hochschild y espacios de Eilenberg-Mac Lane

La homología de Hochschild es una “teoría de homología” (en algún sentido) para álgebras. La verdad es que no tengo un gran insight para lo que mide de verdad. Los grupos de dimensión baja (0, 1, ¿2?) tienen una interpretación sencilla y aceptada, pero a mí me falta un “insight general” sobre lo que mide. Así que voy a ofrecer dos ejemplos que encuentro que iluminan, en el próximo par de posts. Empiezo con el álgebra de grupo.

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La homología como homotopía (4)

Este tema está dando jugo. (Este post ha sido completamente reescrito el 16 de marzo siguiente).

¿Qué es la homología singular de un espacio? Podemos verla como la siguiente cadena de functores, de espacios, a conjuntos simpliciales, a grupos abelianos simpliciales, a complejos de cadenas no-negativos, a grupos abelianos graduados:

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Pensemos un poco en cada uno de estos procesos.

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Sólo la homología singular viene de la homología de cadenas

La homología singular con coeficientes en un grupo abeliano G se obtiene, clásicamente, de la siguiente manera: a un espacio X se le asocia un complejo de cadenas C_*(X;G), y luego se toma la homología de ese complejo.

Una cosa parecida que podemos hacer es: si partimos de un grupo abeliano graduado G=\{G_r\}_{r\in \mathbb Z}, entonces a X le asociamos el complejo de cadenas C_*(X;G):=\bigoplus_r C_{*-r}(X;G_r), y luego tomamos la homología. Como la homología conmuta con las sumas directas, obtenemos

H_n(C_*(X;G))=\bigoplus_r H_{n-r}(X;G_r) = \bigoplus_{p+r=n}H_p(X;G_r).

Esto también da una teoría de homología, generalizada esta vez, y los coeficientes nos dan exactamente G. Es la razón para introducir esos shifts. Observar que si G está concentrado en grado cero entonces recuperamos la homología singular con coeficientes en G_0. Llamémosle pues homología singular generalizada con coeficientes en el grupo abeliano graduado G.

Pregunta: ¿acaso toda teoría de homología generalizada se puede conseguir primero asociándole a X un complejo de cadenas y luego tomando homología?

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La homología como homotopía (3)

Este post es una continuación de este.

Desvelado y aburrido me puse a pensar sobre una pregunta que me ronda la cabeza desde hace unos meses, y me di cuenta de que ya conocía la respuesta, y de que más aún, se conectaba con algo que había leído y que me había parecido muy loco; ahora me parece menos loco. Es divertido cómo a veces el conocimiento lo tenés pero la solución llega cuando dejás de pensar en el problema por un tiempo largo.

Mi problema era el siguiente. Para espacios (punteados), tenemos grupos de homotopía y grupos de homología. Los primeros tienen sucesiones exactas largas y los segundos también (diferentes). ¿Acaso podemos ver ambos como un caso particular de algo más general?

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La homología como homotopía (2) y el teorema de Dold-Thom

Este post es una continuación de éste. En la segunda parte de aquél, a un espacio X y un grupo abeliano A le habíamos asociado un espacio A[X], llamado la A-linealización de X, tal que \pi_n (A[X])\cong \tilde{H}_n(X;A).

Bueno, resulta que se puede decir más de esto, y que resulta más profundo de lo que pensé en un principio. Vamos a ver la relación de esto con el “producto infinito simétrico” y con el isomorfismo de Dold-Thom.

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