Sólo la homología singular viene de la homología de cadenas

La homología singular con coeficientes en un grupo abeliano G se obtiene, clásicamente, de la siguiente manera: a un espacio X se le asocia un complejo de cadenas C_*(X;G), y luego se toma la homología de ese complejo.

Una cosa parecida que podemos hacer es: si partimos de un grupo abeliano graduado G=\{G_r\}_{r\in \mathbb Z}, entonces a X le asociamos el complejo de cadenas C_*(X;G):=\bigoplus_r C_{*-r}(X;G_r), y luego tomamos la homología. Como la homología conmuta con las sumas directas, obtenemos

H_n(C_*(X;G))=\bigoplus_r H_{n-r}(X;G_r) = \bigoplus_{p+r=n}H_p(X;G_r).

Esto también da una teoría de homología, generalizada esta vez, y los coeficientes nos dan exactamente G. Es la razón para introducir esos shifts. Observar que si G está concentrado en grado cero entonces recuperamos la homología singular con coeficientes en G_0. Llamémosle pues homología singular generalizada con coeficientes en el grupo abeliano graduado G.

Pregunta: ¿acaso toda teoría de homología generalizada se puede conseguir primero asociándole a X un complejo de cadenas y luego tomando homología?

Esta pregunta, como la del post anterior, me la hice hace tiempo. Esta hace más tiempo todavía: se la pregunté en el 2012 a mi profesor de topología algebraica y si mal no recuerdo la respuesta fue “me parece que no”.

Respuesta: no, de hecho, ¡las descritas arriba son las únicas que se consiguen!

Esto me resultó sorprendente. Es un teorema del 67 de Burdick, Conner y Floyd en este artículo. La formulación precisa es la siguiente:

Supongamos que L es un functor de la categoría de pares CW finitos hacia los complejos de cadenas, que satisface:

  • Manda un par (X,A) en una sucesión exacta corta de complejos 0\to L(A)\to L(X)\to L(X,A) \to 0,
  • H_*\circ L define una teoría de homología generalizada.

Aquí, como siempre, L(U):=L(U,\emptyset). Denotemos G_q=H_q(L(pt.)); define un grupo abeliano graduado. Entonces hay un isomorfismo natural que conmuta con los mapas borde

H_n(L(X,A))\cong \bigoplus_{p+q=n} H_p(X,A;G_q).

Es decir, la teoría de homología que define L coincide con la homología singular generalizada con coeficientes en G=\{H_q(L(pt.))\}. La prueba, que no leí, es una aplicación de la teoría de modelos acíclicos.

Ahora nos preguntaremos cuándo una teoría de homología generalizada puede expresarse como arriba, pero para esto, prefiero pasar al lenguaje espectral que resulta más cómodo y conceptual. Vamos a probar, en particular, que la homotopía estable no puede expresarse como homología de un complejo de cadenas.

En espectros:

La homología singular con coeficientes en un grupo abeliano G corresponde al espectro de Eilenberg-Mac Lane HG, y la homología singular generalizada con coeficientes en G_*=\{G_r\} descrita al comienzo corresponde al espectro de Eilenberg-Mac Lane generalizado HG_*:=\bigvee_r \Sigma^r HG_r.

El teorema dice entonces que para un L como arriba, se tiene que H_*\circ L \cong (HG_*)_*. La notación es un horror, lo sé: aquí la primera estrella viene de la graduación de G, y con la segunda me refiero a la (HG_*)-homología.

Ahora, tomemos un espectro cualquiera E. La pregunta que nos hacemos es: la homología que define, ¿puede definirse como la homología de un complejo de cadenas? Por el teorema, esto es equivalente a: ¿es la E-homología igual a la H\pi_*(E)-homología? Los espectros que definen tienen los mismos coeficientes, pero no significa que sean la misma teoría (contrario a lo que pasa con las teorías ordinarias).

Observar que “¿es E equivalente a H\pi_*(E)?”, que es también una pregunta razonable. La respuesta negativa a ésta implicaría una respuesta negativa a aquélla, pero no vale el recíproco en general, i.e. nuestra pregunta original es más potente.

Tomemos el ejemplo de E=\mathbb S, el espectro de las esferas. La teoría de homología asociada es la homotopía estable. Para ver que no es lo mismo que la H\pi_*^s-homología, consideremos el mapa de Hopf S^3\to S^2. No es nulo en homotopía estable, pues de hecho su suspensión define un generador de \pi_1^s. Pero es nulo en H\pi_*^s-homología, gracias a que las homologías (reducidas) de S^2 y S^3 nunca son no-nulas al mismo tiempo.

En particular, \mathbb S no es equivalente a H\pi_*^s. Esto también podríamos haberlo visto a mano, por ejemplo calculándoles el primer grupo de H\mathbb Z/2-cohomología a ambos (la de \mathbb S es nula pues \mathbb S es conectivo, la otra es no nula porque podemos considerar el mapa H\pi_*^s \to \Sigma H\mathbb Z/2 inducido por la inclusión, pues \pi_1^s=\mathbb Z/2).

Comentario: sí tenemos una tal equivalencia racionalmente, i.e.,  la esfera racionalizada es equivalente al espectro H\pi_{\mathbb Q,*}^s=H\mathbb Q. Esta última igualdad se deduce del teorema de Serre que dice que todos los grupos de homotopía estable de las esferas, salvo \pi_0^s=\mathbb Z, son finitos (ergo son nulos racionalmente).

Esto es un teorema clásico: la homotopía estable racional coincide con la homología racional. No es difícil de probar, está en las páginas 202-203 del libro azul de Adams.

Si pudiera diría algo más sobre homotopía racional, pero no puedo porque no sé nada.

Comentario 2: Schwede en su libro sobre espectros simétricos (versión 3) da un ejercicio, el E.II.13 (p. 335), en el que realiza la homología definida por un “espectro en grupos abelianos” como la homología definida por un cierto complejo de cadenas. Pero no lo leí en detalle.

Comentario 3: Este post y el anterior son moralmente comparables: el anterior busca realizar la homología como homotopía, y lo logra siempre; el de ahora, busca realizar la homología como homología de cadenas, y lo logra sólo en el caso singular y singular generalizado.

Comentario 4 (añadido el 26/01/16): Acabo de encontrar un resultado diferente pero emparentado con lo que conté acá. Como es bien sabido, Eilenberg y Steenrod demostraron que hay esencialmente una única teoría de cohomología ordinaria con un grupo de coeficientes dado. Uno puede preguntarse si ese resultado se levanta a nivel de cocadenas: es decir, si un functor de espacios topológicos a complejos de cocadenas de k-módulos que satisface axiomas adecuados (homotopía, exactitud, producto, dimensión) es necesariamente naturalmente isomorfo al functor de cocadenas singulares. Y esto es cierto: es debido a Mandell en “Cochain multiplications”. Él prueba más: en vez de tomar los functores hacia complejos de cocadenas, podés tomarlos hacia álgebras diferenciales graduadas (o más aún, hacia E_\infty-álgebras), y también hay unicidad. Es decir, el producto cup es único.

Supongo que el resultado análogo para homología es también cierto…

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Una respuesta a Sólo la homología singular viene de la homología de cadenas

  1. bestone dijo:

    Una referencia que acabo de encontrar: Adams, stable homotopy and generalised homology, pp. 203-204.

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