La homología como homotopía: la A-linealización de un espacio, y una construcción de los K(A,n)

Pregunta “elemental”: dado un espacio X, puedo encontrar un espacio Y tal que los grupos de homología de X sean los de homotopía de Y? Misma pregunta para la cohomología.

Voy a dar primero una respuesta general y espectral. Si esto no te gusta, salteátelo nomás y saltá a la segunda respuesta, que es algo lindo y totalmente elemental (que sin embargo solo se aplica a priori a la (co)homología singular) (edito: resulta que fue extendido a cualquier teoría de (co)homología por Mostovoy, esto lo aprendí de este post en MO).

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Fibrados y clases características

Voy a dar una charlita en una escuela de verano en Polonia, sobre fibrados y clases características. Para la ocasión, escribí unas notas.

Son un poquito violentas. Es imposible dar una clase de dos horas sobre fibrados y clases características, y a la vez ser razonable. Así que la cantidad de ejemplos es escasa, los detalles son pocos, y las pruebas son inexistentes.

Hay algo que tienen de idiosincrásico, quizás. Defino los fibrados vectoriales como fibrados topológicos con fibra \mathbb{F}^n y grupo de estructura el grupo general lineal. Parece ser una complicación innecesaria para una charla corta. ¿Por qué no definirlos con la definición directa (que también doy, porque ayuda a la intuición, claro)?

Cuando definís axiomáticamente las clases de Chern (fijemos el cuerpo como el de los complejos, por ejemplo), uno de los axiomas te dice que la primera clase de Chern del fibrado de línea universal es un generador del correspondiente grupo de cohomología. ¿Qué pinta ese fibrado ahí? Bueno, es el fibrado universal: todo fibrado complejo se consigue como pullback de éste, así que tiene un rol especial. Ok. Reformulo la pregunta entonces: ¿por qué el fibrado de línea universal es  S^\infty \to \mathbb{C} P^\infty?

Y yo creo que esta pregunta se dilucida un poco si generalizamos el panorama. Si nos convencemos de que los fibrados vectoriales son lo mismo que los U(n)-fibrados principales (esto es lo que lleva trabajo), entonces resulta natural considerar G-fibrados principales en general, y preguntarse sobre la existencia de G-fibrados universales. La respuesta es que sí y ahí es donde pinta el espacio clasificante BG; el fibrado universal es EG\to BG.

Consideremos U(1)=S^1. Hay unos mapas que son típicamente S^1-fibrados principales: los cocientes S^{2n+1}\to \mathbb{C}P^n. Pero el espacio total no es contráctil. Tomá el colímite de éstos para conseguir S^\infty \to \mathbb{C}P^\infty, y entonces tenés un S^1-fibrado principal con espacio total contráctil, lo cual implica que BS^1=\mathbb{C}P^\infty. Y así es cómo aparece el espacio proyectivo en esta historia.

Creo que está bueno verlo así. No solo porque es más general, i.e., uno puede querer considerar G-fibrados y sus clases características para otros G, sino porque queda más claro por qué aparecen los espacios proyectivos (y, para fibrados de rango superior, las Grasmannianas) en esta historia.

(Edito: las notas fueron actualizadas hace unos días. Además comento que, bueno, la “charlita” se convirtió en “cursito” de casi cuatro horas… en mi defensa, debo decir que había expositores que faltaron entonces había tiempo de sobra.)

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Productos tensoriales sobre dominios

Sea R un dominio de integridad (un anillo conmutativo sin divisores de cero). Estas dos propiedades nos permiten considerar la localización respecto de todos los elementos salvo el cero: es decir, el cuerpo de fracciones Q.

Sea M un R-módulo. Entonces podemos considerar M\otimes Q (producto tensorial sobre R), la extensión de escalares de M desde R hacia Q, de la cual ya hablé al menos dos veces.

Acá estamos considerando una extensión muy particular, que es la extensión al cuerpo de fracciones. El cuerpo de fracciones es una localización, así que M\otimes Q no es otra cosa que la localización de M respecto de los elementos no nulos de R, i.e., la racionalización de M (pensemos en el caso R=\mathbb{Z} para fijar ideas).

Uno esperaría que algo que se llama “racionalización de M” capturara exactamente la parte de no-torsión de M. En particular, que Q\otimes M=0 si y sólo si M es de torsión. Tenemos que demostrar que esta intuición respecto del proceso de tensorizar con Q es correcta. Veamos esto.

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Los grupos de homotopía estable de las esferas, la teoría cromática y las familias griegas

Hace poco tiempo escribí un post sobre los primeros cálculos de homotopía de las esferas. Ahora quiero comentar un poco el punto de vista ligeramente más moderno. Todo lo que comenté en ese post es, como más moderno, de los años 50. Hoy quiero comentar una o dos cosas que llegan hasta los 80.

¿Por qué los grupos de homotopía estable de las esferas son más calculables que los inestables? Hay una primera razón muy sencilla: tenemos más estructura. Los grupos de homotopía inestable no tienen más estructura que la que cada uno de ellos posee. Sin embargo, en los grupos de homotopía estable \{\pi_i^s\}_{i\geq 0} tenemos una estructura no solo de grupo abeliano graduado sino de anillo graduado conmutativo (en el sentido graduado).

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La belleza según Rota

Everyone knows that in mathematics, beauty is the highest desideratum. But the few attempts to explain what’s meant by “mathematical beauty” have been feeble and unconvincing. Gian-Carlo has a new answer. “Beauty in mathematics is enlightenment.” When we are enlightened, we think, “How beautiful.” This insight is both enlightening and beautiful!

Reuben Hersh, en un prefacio a Indiscrete Thoughts (G.C. Rota)

Yo agregaría que, en mi experiencia, vale el recíproco. Cuando nos parece que no entendemos nada, pensamos “esto es horrendo”.

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De compleciones, localizaciones, enteros p-ádicos y teoremas de fractura

Introducción: Marcando ya una clara tendencia, este va a ser un post puramente algebraico pero con motivaciones topológicas.

Si entiendo bien, una de las ideas atrás de la sucesión espectral de Adams es calcular el grupo abeliano graduado [X,Y] de clases de homotopía entre dos espectros X e Y (si te molestan los espectros, podés pensar que son las clases de homotopía estable entre dos espacios; este es el punto de vista más clásico pero también es más técnicamente engorroso).

A partir de qué información? A partir de la información que nos da alguna teoría de cohomología multiplicativa E_*, por ejemplo, la cohomología singular módulo un primo p. La página E_2 de la sucesión espectral es un Ext sobre el álgebra de Steenrod, de los dos módulos de cohomología mod p de X e Y.

Pero la cohomología a coeficientes módulo p, intuitivamente, no hay chance de que pueda “detectar” la parte no p-primaria. A lo que va a converger la sucesión espectral de Adams va a ser entonces a algo que involucra a [X,Y] pero que nos permite quedarnos sólo con la información en el primo p. ¿Qué significa eso exactamente? Aquí es donde entra el álgebra.

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K-teoría algebraica, sus varias definiciones, y su relación con la topológica

La K-teoría algebraica superior admite varias definiciones. Quiero hacer sencillamente una revisión de (algunas de) ellas, de cuándo se aplican, de cuándo coinciden; lo poco que sé al respecto, como ayuda-memoria.

– La K-teoría de una categoría exacta (en particular, de una categoría abeliana). Aquí usamos la construcción Q de Quillen. O la construcción puramente algebraica debida a Grayson, que estudié para mi tesis de maestría.

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