La homología como homotopía (4)

Este tema está dando jugo. (Este post ha sido completamente reescrito el 16 de marzo siguiente).

¿Qué es la homología singular de un espacio? Podemos verla como la siguiente cadena de functores, de espacios, a conjuntos simpliciales, a grupos abelianos simpliciales, a complejos de cadenas no-negativos, a grupos abelianos graduados:

Captura de pantalla 2016-03-16 a las 9.34.39

Pensemos un poco en cada uno de estos procesos.

El primero es una equivalencia de Quillen. Es decir, la categoría de conjuntos simpliciales tiene una estructura de modelos intrínseca, de manera que su teoría de homotopía coincide con la teoría de homotopía de Top. O sea, Sing sólo nos está diciendo: pensá tu espacio como un conjunto simplicial, lo cual podés hacer sin perder ninguna información homotópica.

El segundo functor es el functor “grupo abeliano libre”. Es, pues, una “linearización”, leitmotif en toda la matemática.

El tercer functor es moralmente como el primero: también es una equivalencia de Quillen. Sin perder nada, podemos ver el grupo abeliano simplicial como un complejo de cadenas, porque por qué no. (Más aún, este functor es además una equivalencia de categorías). Todo esto es lo que dice el teorema de Dold-Kan.

El cuarto functor es la bien conocida homología: pasar a grupos abelianos. Este functor pierde información.

Ahora bien, Dold-Kan nos dice también que la composición de los últimos dos functores coincide con el functor “grupos de homotopía simpliciales”. Así que en realidad podemos ver la composición de arriba así:

Captura de pantalla 2016-03-16 a las 9.35.44

Teóricamente, no hay necesidad de pasar por complejos de cadenas.

Bien, ahora pensemos en esto. El functor Sing es una equivalencia de Quillen, así que es sólo “expresar el espacio de otra forma equivalente”. El tema es que esta forma equivalente, i.e. la forma de un conjunto simplicial, nos permite tomar “grupo abeliano libre” en cada uno de los conjuntos. Es decir, linearizar conjuntos (simpliciales) es algo que sabemos hacer fácilmente. Pero nos podemos hacer la pregunta: ¿acaso no podremos linearizar directamente el espacio? Es decir, podremos encontrar un functor \mathbb{Z}^{top}[-] de “linearización de un espacio”, que nos devuelva otro espacio tal que si le tomamos la homotopía, coincida con la homología? Es decir, que haga conmutar este diagrama:

Captura de pantalla 2016-03-16 a las 9.38.34

La respuesta es que sí, y es lo que hemos visto en los posts anteriores. La idea es que nos deshacemos de pasar por el mundo simplicial, y el proceso de linearización lo hacemos directamente en el espacio. De hecho, el functor Z^top es “tomar grupo abeliano topológico libre”.

Un par de caveats: en realidad, tendría que hacer todo punteado. Los espacios deberían ser punteados, los objetos simpliciales aumentados, de manera que la homología que resulta es la reducida. Y el “grupo abeliano topológico libre” se toma -sobre un espacio punteado- (de manera que el punto base del espacio sirva de neutro para la suma).

 

La inspiración para este post vino de comentarios en este post de MO.

De hecho, di un par de charlas en el seminario de estudiantes de mi universidad sobre esta idea, las notas están acá.

Me gustaría señalar otra cosa linda ahora. Normalmente definimos una “teoría de homología (generalizada)” como: functores de Top en grupos abelianos que satisfacen tal tal y cual. Podríamos imaginar que para definir otras teorías de homología bastaría remplazar el functor \mathbb{Z}[-] por otros functores más complicados pero con algunas propiedades en común. Esto ya vimos que no funciona en otro post reciente: la única teoría de homología generalizada que viene dada como “homología de un complejo de cadenas” (como sería el caso aquí)  es la singular, así que este approach no sirve.

Sin embargo, con el approach de Dold-Thom esto sí que funciona, y esto es muy bonito. Podemos definir una teoría de homología (reducida) como un functor de espacios (punteados) en espacios punteados que satisface algunas de las propiedades que satisface Z^top. Luego la teoría de homología en el sentido clásico va a ser obtenida como la homotopía aplicada a este functor.

Las propiedades son:

  • invarianza homotópica débil,
  • escisión: una cofibración se manda en una fibración,
  • el punto va a parar a un espacio contráctil.

Nada más. El axioma de dimensión sería: S^0 va a parar a un espacio con homotopía \mathbb{Z} concentrada en grado 0. Yo creo que esto es conceptualmente muy bonito. El único lugar en el que lo vi más o menos escrito es en el artículo Calculus I de Goodwillie, pero él dice que esto es “bien conocido”.

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