La homología como homotopía (3)

Este post es una continuación de este.

Desvelado y aburrido me puse a pensar sobre una pregunta que me ronda la cabeza desde hace unos meses, y me di cuenta de que ya conocía la respuesta, y de que más aún, se conectaba con algo que había leído y que me había parecido muy loco; ahora me parece menos loco. Es divertido cómo a veces el conocimiento lo tenés pero la solución llega cuando dejás de pensar en el problema por un tiempo largo.

Mi problema era el siguiente. Para espacios (punteados), tenemos grupos de homotopía y grupos de homología. Los primeros tienen sucesiones exactas largas y los segundos también (diferentes). ¿Acaso podemos ver ambos como un caso particular de algo más general?

Esa era la pregunta que me hacía, y lo fundamental de la respuesta está escrita en este mismo blog: lo que sucede es que (desde el punto de vista de un homotopista, al menos), lo primordial y primigenio es la homotopía, y a partir de ella podemos conseguir la homología. Esto es el contenido de los dos posts anteriores, pero sólo progresivamente me di cuenta del alcance de esto. No sólo los grupos son isomorfos, mucho más aún:

El functor Espacios \to Grupos abelianos graduados, que a X le asocia \pi_*(G[X]), es una teoría de homología naturalmente isomorfa a la homología singular con coeficientes en G.

Esto quiere decir no solo que hay un isomorfismo de functores.

En efecto: el dato de una teoría de homología es (por ejemplo) un functor h: Espacios \to Grupos abelianos graduados, junto con una transformación natural \partial, y que a una cofibración A\to X\to X/A le asocia un homomorfismo natural h_{n+1}(X/A)\to h_n(A), que es un invariante homotópico y que te manda una tal cofibración en una sucesión exacta h(A)\to h(X)\to h(X/A) (i.e. sucesiones exactas de tres términos nivel a nivel). (Y aditividad, si no querés restringirte a CW-finitos).

Un isomorfismo de teorías de homología es, por definición, un isomorfismo natural entre los functores, que además conmuta con el mapa borde, de forma que un isomorfismo de teorías de homología conlleva un isomorfismo entre sucesiones exactas largas de homología.

Lo que debemos analizar ahora es lo siguiente. La teoría de homología \pi_*(G[-]) viene dada como una composición de functores: primero aplicar G[-], y luego tomar homotopía. Lo que termina sucediendo es lo siguiente:

El functor G[-]: Espacios \to Espacios es un functor homotópicamente invariante que a una cofibración A\to X\to X/A le asocia una fibración (de hecho, un fibrado principal) G[A]\to G[X]\to G[X/A].

Más aún: el homomorfismo de borde \partial:\pi_{n+1}(X/A)\to \pi_n(A) de la teoría de homología \pi_*(G[-]) es el homomorfismo borde de la sucesión exacta larga asociada a la fibración recién descrita.

Bueno, ¡esto resuelve completamente el problema! Una sucesión exacta larga de homología asociada a un par (X,A) es una sucesión exacta larga de homotopía asociada a la fibración G[A]\to G[X]\to G[X/A]. Esto resulta muy satisfactorio, y sugiere considerar los siguientes objetos:

Functores Espacios \to Espacios que llevan cofibraciones en fibraciones.

Acabamos de ver uno tal que, cuando lo componemos con el functor \pi_*, nos dio la teoría de homología singular. La pregunta natural es: ¿acaso cualquier teoría de homología generalizada se consigue así? ¡Y la respuesta de nuevo es que sí! Bueno, casi. Tenemos que agregar otra condición a esos functores, una condición que una teoría de homología reducida satisface automáticamente: que la homología del punto sea trivial. Con esto conseguimos entonces cualquier teoría de homología, es decir un espectro:

Definición (Goodwillie): Un espectro es un functor E: Espacios \to Espacios que lleva cofibraciones en fibraciones y que satisface E(*)=*.

Esto nos da una definición alternativa de espectro, y de la categoría de espectros. La teoría de homología asociada al espectro es sencillamente componer ese functor con el functor de homotopía. (Debo estar mintiendo en algunas cosas: esta parte la conozco solo “moralmente”. Creo que hace falta también que E:Map(X,Y)\to Map(E(X),E(Y)) sea continuo… cosas infinito-categóricas, etc…)

Hay algo interesante a analizar con esto: la existencia de mapas fantasmas.

La representabilidad de Brown te dice que toda teoría de homología viene de un espectro. Además, todo morfismo de teorías de homología viene de un morfismo de espectros. Pero esto -no- define una equivalencia de categorías, por la existencia de mapas fantasmas: hay morfismos entre teorías de cohomología que son nulos pero cuyos mapas entre espectros asociados no son nulos (cf. este post en MO). En otras palabras, ese functor entre categorías no es fiel.

Esa no fidelidad viene, con nuestra interpretación, de la no-fidelidad del functor de homotopía, i.e., del fallo del teorema de Whitehead para mapas. Así, la existencia de mapas fantasmas es una consecuencia de la no-fidelidad del functor de homotopía. (Situación curiosa: el functor de homotopía no es fiel pero es conservativo, i.e. refleja isomorfismos, por el teorema de Whitehead).

 

Bueno, con esto no solo respondí a mi pregunta inicial, sino que además lo vinculé con esta definición poco divulgada de los espectros, así que me siento satisfecho.

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2 respuestas a La homología como homotopía (3)

  1. bestone dijo:

    Observar que un tal espectro de Goodwillie preserva homotopías, considerando la cofibración X\to X\times I \to CX.

  2. Pingback: Sólo la homología singular viene de cadenas | blocdemat

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