Una manera de calcular la integral impropia de sin(x)/x

La integral \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} es una integral clásica, que a veces se llama integral de Dirichlet. Primero que nada, observar que el integrando es una función par, luego la integral en todo \mathbb{R} es dos veces la integral en [0,+\infty].

En nuestra licenciatura la resolvemos en dos cursos diferentes:

– en el de análisis complejo, usando residuos. Uno considera la función compleja z\mapsto \frac{e^{iz}}{z}, de la cual nuestro integrando es la parte imaginaria (ver e.g. el libro de Ivorra de análisis complejo, p. 115)

– en el de cálculo 2. En este caso lo que hacíamos era considerar la integral doble \iint e^{xy} \sin(x) dxdy, y usar el teorema de Fubini sobre intercambiar el orden de integración. Se reduce a integrar e^{-xy}\sin(x) respecto de x y esto es fácil, integrando dos veces por partes.

Veamos otra prueba.

Esta prueba que quiero comentar usa el teorema de Leibniz de diferenciación bajo el signo de la integral, teorema que vemos en cálculo 2 pero al menos yo nunca lo apliqué para un cálculo. Aparentemente este método le gustaba mucho a Feynman; recomiendo leer esta nota.

La idea es que a veces “complicando el problema” introduciendo un parámetro logramos resolver lo que queremos.

Sea H(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}e^{-\alpha x} dx. El valor que buscamos es H(0). Puesto que |\frac{\sin(t)}{t}|<1, acotando conseguimos rápidamente que H(+\infty)=0. La idea es usar el teorema fundamental del cálculo:

-H(0)=H(+\infty)-H(0)=\int_0^{+\infty}H'(\alpha)d\alpha.

Para ello tenemos que calcular la derivada H'(\alpha) y acá es donde entra Leibniz. Suponiendo que podemos meter la derivada para adentro de la integral, conseguimos H'(\alpha)=-\int_0^{+\infty}\sin(x) e^{-\alpha x} dx. Esta es la integral que comenté en el ítem anterior sobre el método con integrales dobles, que se calcula fácilmente con dos integraciones por partes consecutivas. Termina dando H'(\alpha)=\frac{1}{\alpha^2+1}. Esta función (sin el menos) tiene como primitiva a arcotangente, de donde sacamos enseguida que

H(0)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\pi}{2}.

Lo delicado en este asunto es justificar por qué podemos meter la derivada para adentro. El enunciado del teorema que vemos en cálculo 2 vale cuando integrás en un compacto. Pero se puede generalizar a espacios de medida más general, si podemos acotar el integrando por algo integrable, para usar un teorema del tipo de convergencia dominada. Más detalles en la nota que ya linkeé. Y es fácil acotar, de hecho lo hicimos para probar que el límite en infinito de H daba cero.

No me termina de quedar claro que esto sea tan fácil de justificar, me huele a que en 0 puede llegar a ser más delicado. Pero… ese hilar fino se lo dejo a otra persona.

Edito: encontré otra nota quizás mejor que la anterior.

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3 respuestas a Una manera de calcular la integral impropia de sin(x)/x

  1. charterdr dijo:

    Qué interesante. El “método Feynman” que menciona en la nota es un clásico de los problemas de la olimpiada Putnam. Recuerdo haber leído de ese método hace un par de años atrás. Una referencia sobre dicho “método” también se encuentra en un libro ruso titulado “Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes”. Ahí le llaman integrales dependientes de un parámetro donde justamente se aplica el teorema de Leibniz.

    • bestone dijo:

      Ese libro ruso me suena a un manual que fue muy usado por los estudiantes de ingeniería en Uruguay en una época… Ahora no tengo el título a mano… una búsqueda en google me refresca la memoria: es “el bronshtein”!

  2. bestone dijo:

    Ah, me acabo de acordar de otra integral impropia de una variable que se puede calcular como una integral doble: la integral Gaussiana, \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx.

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