Formas diferenciales, diferenciales de Kähler y homología de Hochschild

Ponele que te gusta el lenguaje del álgebra y si lográs algebraizar una definición clásica te quedás contento porque la recordás más fácil. Entonces podés querer hacer eso con el concepto de “forma diferencial” sobre una variedad M. Y si al hacer eso te encontrás con un gran teorema (Hochschild-Kostant-Rosenberg), te quedás aún más contento.

Añado que esto debe ser moralmente posible partiendo como dato algebraico de la \mathbb{R}-álgebra C^\infty(M), pues, en efecto, C^\infty(M) contiene toda la información topológica y geométrica de M (!).

Así que supongamos que sos esa persona y hagamos eso.

  1. Campos de vectores y formas diferenciales

Sea M una varidedad suave. Denotemos \chi(M) al conjunto de campos de vectores suaves en M. Uno puede definir éstos como secciones del fibrado tangente. Pero también lo puede hacer de la siguiente forma.

Definición: Sea A un álgebra conmutativa (sobre un anillo conmutativo k) y sea M un A-módulo. Definimos Der(A,M) como

\{X\in \hom_k(A,M): X(fg)=(Xf)g+f(Xg) para todo f,g\in A\}.

Esto es un A-módulo con las operaciones punto a punto. Por ejemplo, la acción de A es: si f\in Der(A,M), entonces fX es tal que (fX)(g)=f(Xg). Así que la ecuación se puede reescribir como

X(fg)=(Xf)g+(fX)g

lo cual tiene el buen gusto de no permutar el orden de f y g.

Si M=A denotamos Der(A)=Der(A,M).

Un ejemplo de \mathbb{R}-álgebra conmutativa es C^\infty(M) (es EL ejemplo a tener en cuenta en todo esto).

Proposición: Der(C^\infty(M))=\chi(M).

O sea, un campo de vectores es lo mismo que un mapa X:C^\infty(M)\to C^\infty(M) que es \mathbb R-lineal y que satisface X(fg)=f(Xg)+(fX)g.

Bárbaro, hemos algebraizado lo que es un campo de vectores. Ahora bien, ¿qué son las 1-formas diferenciales? Secciones del fibrado cotangente. El fibrado cotangente es el dual del fibrado tangente, pero esto no muestra realmente en qué sentido “las formas diferenciales son duales a los campos de vectores”. La proposición anterior nos permite hacer eso:

Proposición: \Omega^1(M)=\hom_{C^\infty(M)}(\chi(M),C^\infty(M))=\chi(M)^*.

La * acá denota el dual respecto del anillo conmutativo C^\infty(M).

Si combinamos estas dos cosas, obtenemos

Corolario: \Omega^1(M)=Der(C^\infty(M))^*.

Podríamos quedarnos acá: esto es suficientemente algebraico. Pero vayamos más lejos.

2. Más sobre derivaciones.

Resulta que hay una “derivación universal”:

Proposición: Sea A un álgebra conmutativa. Existe un A-módulo \Omega^1_K(A) de diferenciales de Kähler con una derivación d: A\to \Omega^1_K(A) que es universal, en el sentido que si M es otro A-módulo con una derivación d':A\to M, entonces ésta se factoriza de manera única a través de d.

Esto se construye como cualquier objeto libre: imponiendo a mano lo mínimo necesario. En este caso, resulta ser así: \Omega^1_K(A) es el A-módulo libre de base el conjunto A=\{da: a\in A\} módulo las relaciones 

dc=0 si c\in k,
d(ab)=(da)b+d(ab),
d(a+b)=da+db,
(da)b=b(da).

La derivación d:A\to \Omega^1_K A manda a en da, naturalmente. (Nota: hay una definición ligeramente diferente en Loday, “Free loop space and homology”, 1.12, que sospecho sea más estándar. Ver también Ginzburg, Lectures on noncommutative geometry, sección 8.)

Esto empieza a parecerse peligrosamente a las 1-formas diferenciales. Pero antes de saltar a conclusiones, sigamos por el camino seguro. La propiedad universal dice que

\hom(\Omega^1_K(A),M)\cong Der(A,M),

ergo tomando M=A obtenemos

(\Omega^1_K(A))^*\cong Der(A).

3. Conclusión

Juntando las dos partes anteriores, obtenemos que

\Omega^1(M)=(\Omega^1_K(C^\infty(M))^{**},

el doble dual. Como C^\infty(M) está lejos de ser de dimensión finita, no podemos asegurar que el doble dual coincida con el módulo original (¡y de hecho no coincide!)

Los diferenciales de Kähler se utilizan a veces como definición de 1-formas en ciertos contextos de geometría algebraica, si entiendo bien, incluso si no coinciden realmente con las 1-formas diferenciales para A=C^\infty(M). No entiendo por qué no definir \Omega^1(A) para una A cualquiera como \hom_A(Der(A),A), i.e. el dual de Der(A), i.e. el -doble dual- de los diferenciales de Kähler, pero bueno. Hay que pensar que si A es un álgebra de funciones sobre un objeto geométrico, los diferenciales de Kähler son “algo así” como formas diferenciales sobre dicho objeto, pero no lo son -realmente- en el caso (suave) arquetípico C^\infty(M).

4. Vínculo con la homología de Hochschild

Resulta que \Omega^1_K(A)=HH_1(A), el primer módulo de homología de Hochschild de A.

Ahora la pregunta es: ¿qué pasa con las formas diferenciales de grado superior?

Honestamente, a priori no sé cómo conseguir una interpretación como \Omega^1(M)=\chi(M)^* pero para \Omega^n(M). Así que permítanme quedarme con los diferenciales de Kähler, donde sí sé cómo deben ser las cosas.

Definamos \Omega^n_K(A)=\Lambda^n A, la enésima potencia exterior de A. Entonces de hecho se tiene que \Omega^\bullet_K(A) es un álgebra graduada.

Teorema: (Hochschild-Kostant-Rosenberg) Si A es un álgebra conmutativa suave sobre un cuerpo de característica cero, entonces \Omega^\bullet_K(A)\cong HH_\bullet(A) como anillos graduados.

Y acá lo dejo… no sé bien qué es un álgebra suave, pero aparentemente C^\infty(M) lo es (y digo aparentemente porque parece haber varios errores en notas que andan sueltas por ahí). Y observar que no dije nada sobre la homología de Hochschild, en realidad, y sobre su producto. Su producto es un producto complicado dado usando “shuffles”. Pero en realidad, si pensamos en el producto de formas diferenciales, el producto cuña, también es complicado. La definición con los alternadores, etc., en realidad oculta unos shuffles.

Anuncios
Esta entrada fue publicada en anillos y módulos, álgebra homológica, geometría, Uncategorized. Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s