Extensiones de cuadrado nulo

Esa es mi traducción de «square-zero extension»… es lo que hay.

Curiosamente, pearece que la homología de Hochschild es algo que se repite estos últimos años en este blog. Supongo que porque es algo que es elemental, que nunca aprendí sistemáticamente, y que sin embargo me veo llevado a entender de tanto en tanto.

A mí este problema se me apareció «en la naturaleza» más o menos así. Fijemos $k$ un anillo conmutativo, $A$ una $k$ -álgebra y $M$ un $k$ -módulo. Olvidando que $A$ tiene un producto, podés formar $A\oplus M$ que es un $k$ -módulo. Ahora bien: dado que $A$ tiene un producto, capaz que este módulo de la forma $A\oplus M$ que encontraste por la vida también tiene un producto… Capaz que podemos deducirlo de la estructura de $A$ , de alguna forma.

Eso es lo que vamos a ver en este post: vamos a clasificar ciertas estructuras de álgebra en $A\oplus M$ que son particularmente simples. Más precisamente, aquellas tales que la proyección de módulos $A\oplus M\to A$ preserva el producto, y tales que $M$ , visto adentro del álgebra $A\oplus M$ , tiene cuadrado nulo (i.e. si multiplicás dos de sus elementos, da cero).

Estas dos condiciones se resumen así: vamos a clasificar las extensiones de $A$ por $M$ que son de cuadrado nulo y que son escindidas (a veces se le llama «Hochschild» a la condición de split).

Vamos de a poquito. Para empezar, una extensión de $A$ por $M$ es una k-álgebra $B$ con un morfismo de álgebras $f:B\to A$ que es sobreyectivo y tal que su núcleo es isomorfo a $M$ . En otras palabras, una sucesión exacta corta de módulos

$0\to M\to B \to A \to 0$

donde $B\to A$ preserva el producto y la unidad. La extensión es de cuadrado nulo si $M^2=0$ (usando el producto de $B$ ). Notemos $i:M\to B$ .

Proposición: Una extensión de $A$ por $M$ es de cuadrado nulo si y sólo si $M$ puede ser dotado de la estructura de $A$ -bimódulo siguiente: $a\cdot b_0=b i(b_0)$ para $a\in A, b_0\in M$ , donde $b\in f^{-1}(a)$ es cualquier elemento (y análogamente a derecha. A partir de ahora voy a mirar todo lo que pasa a izquierda, porque a derecha es análogo. Otra cosa, a veces dejaré de distinguir entre $M$ e $i(M)$ .)

En efecto, la propiedad «de cuadrado nulo» es la que permite que esa definición no dependa del $b$ en la preimagen de $a$ que elegiste. Esto es un ejercicio fácil.

Observación: Uno podría decirse: en vez de empezar con un k-módulo $M$ , empiezo directamente con un $A$ -bimódulo $M$ . En este caso, defino una extensión de cuadrado nulo igual que arriba, i.e. si $i(M)^2=0$ . Lo cual equivale a decir que $i$ satisface

$i(a\cdot b_0)=bi(b_0)$ donde $f(b)=a$ (*),

lo cual es suficiente para caracterizar la estructura de bimódulo de $M$ pues $M\cong i(M)$ como $k$ -módulos. Ambos puntos de vista son equivalentes: o arrancás con un k-módulo $M$ tal que $M^2=0$ y le enchufás una estructura de bimódulo como arriba, o arrancás con un bimódulo y le pedís a la extensión que $i$ medio que «respete» esa estructura, lo cual equivale a decir que $M^2=0$ . Este es un punto que no aparece explicado en ningún lado y a mí, al menos me confundió por un momento. En conclusión, si arrancás con un $A$ -bimódulo $M$ tal que $M^2=0$ , de todas formas la estructura de bimódulo es única: está caracterizada por (*).

Sigamos. ¿Qué pasa si la sucesión exacta corta se escinde? En ese caso, tenemos un morfismo de módulos $\sigma:A\to B$ tal que $f\circ \sigma=id$ , y la estructura de $A$ -módulo de $M$ que conseguimos arriba se puede escribir como $a\cdot b_0=\sigma(a)\cdot b_0$ . En efecto, la joda de haber elegido una sección es que nos elegimos preimágenes, y estas elecciones son compatibles con la estructura de módulo.

La elección de $\sigma$ da lugar a un isomorfismo de módulos $(\sigma,i):A\oplus M\to B$ , y así, ya podemos dotar a $A\oplus M$ de estructura de k-álgebra, transportando el producto de $B$ via el isomorfismo. Antes de explicitar cuál es este producto en $A\oplus M$ , trabajemos un poco más sobre $\sigma$ .

A una sección $\sigma$ le podemos asociar un mapa $c_\sigma: A\otimes_k A\to B, a\otimes a\mapsto \sigma(a)\sigma(a')-\sigma(aa')$ . Este morfismo de módulos viene a medir cuán lejos está $\sigma$ de ser un morfismo de álgebras (esto sucede cuando $c_\sigma$ es nulo).

Proposición: $c_\sigma$ tiene imagen en $M$ , y es un 2-cociclo, esto significa que satisface

$a_0 c_\sigma(a_1\otimes a_2)-c_\sigma(a_0a_1\otimes a_2)+c_\sigma(a_0\otimes a_1a_2)- c_\sigma(a_0\otimes a_1)a_2=0$ para todo $a_0,a_1,a_2\in A$ .

En los términos de los extremos estamos usando las acciones de $A$ en $M$ por izquierda y por derecha que definimos arriba. Esto es una cuentita, que utiliza la asociatividad de $A$ y las propiedades de acción.

Armados con todo esto, tenemos entonces:

Proposición: Podemos dotar a $A\oplus M$ del producto siguiente:

$(a,m)*(a',m')=(aa',am'+ma'+c_\sigma(a,a'))$ (**)

Es la única estructura sobre el módulo $A\oplus M$ que hace que $(\sigma,i)$ respete el producto. Notaremos a esta k-álgebra como $A \rtimes_\sigma M$ .

Observar que el método para encontrar estructuras de álgebra en $A\oplus M$ es un poco indirecto. Es decir, lo que hacemos es partir de una extensión de cuadrado nulo escindida, y pasar la estructura de álgebra de $B$ hacia $A\oplus M$ . ¿Pero de dónde la sacamos esa extensión de cuadrado nulo? Una manera de verlo es esta: arrancamos apenas de la sucesión exacta corta de módulos escindida canónica $0\to M\to A\oplus M\to A \to 0$ . Podemos poner un producto sencillo en $A\oplus M$ , que es el de (**) cuando el último sumando es nulo (más abajo llamaremos «trivial» a este caso). Ahora la proyección $A\oplus M\to A$ es un morfismo de álgebras. Muy bien, así que ahora podés buscarle otra sección diferente (que no sea la chota), y esta sección te va a dar un producto diferente en $A\oplus M$ .

Buenísimo, es lo que queríamos, encontrar estructuras de álgebra en $A\oplus M$ . Además, vemos que tenemos unas cuantas diferentes, según la sección que hayamos encontrado. Pero nos podemos preguntar qué efecto tiene la elección de la sección. O sea, puede que nos demos dos secciones diferentes pero que los $A\rtimes M$ asociados sean equivalentes… Ahora queremos, pues, clasificar estas extensiones.

Dos extensiones (pueden ser square-zero y/o split) $B,B'$ de $A$ por $M$ son equivalentes si hay un isomorfismo de k-álgebras $B\to B'$ que hace conmutar la escalerita obvia con identidades en los extremos.

Podríamos querer encontrar una relación de equivalencia en las secciones $\sigma:A\to B$ que reflejara la equivalencia de las extensiones respectivas, pero esto no fue lo que hizo Hochschild en 1944: lo que hizo fue mirar los cociclos asociados.

Es decir, hay una relación de equivalencia en los 2-cociclos $A\otimes_k A\to M$ : diremos que son «cohomólogos» (no voy a definir la relación). Notemos $HH^2(A,M)$ a los 2-cociclos módulo cohomología. Así, el teorema de Hochschild es:

Teorema: Sea $A$ una $k$ -álgebra y $M$ un $A$ -bimódulo. Hay una biyección entre $HH^2(A,M)$ y las clases de equivalencia de extensiones escindidas de cuadrado nulo de $A$ por $M$ .

La equivalencia funciona así: si tenés $0\to M\to B\to A\to 0$ una tal extensión con sección $\sigma$ , entonces le asociás el cociclo $c_\sigma$ que definimos arriba, y uno prueba que si tenés dos tales extensiones equivalentes, los cociclos que determinan son cohomólogos.

En el otro sentido, si tenés un cociclo $c$ , entonces le asociás la extensión escindida de cuadrado nulo

$0\to M\to A\rtimes_c M\to A\to 0$

donde el término del medio es $A\oplus M$ como $k$ -módulo, con producto dado por

$(a,m)*(a',m')=(aa',am'+ma'+c(a,a'))$ .

Uno verifica que si dos cociclos son cohomólogos entonces las extensiones que determinan son equivalentes. Además, es muy fácil ver que esto define una correspondencia uno a uno.

Si te estabas preguntando por qué le llamé $HH^2(A,M)$ a las clases de cohomología de 2-cociclos, es porque, sí, esto es un segundo grupo de cohomología de cierto complejo de cadenas asociado a $A$ y $M$ , el complejo de Hochschild, y este $HH^2$ es un módulo de cohomología de Hochschild.

Observar que hay un cociclo trivial, el que manda todo a cero. La extensión correspondiente es la más sencilla de todas: es $A\oplus M$ con producto

$(a,m)(a',m')=(aa',am'+ma')$

y se llama, obviamente, extensión trivial.

Bueno, hicimos bastante en el sentido del problema inicial. Encontramos un montón de estructuras en $A\oplus M$ : si me das un cociclo, te construyo una tal estructura, y una manera de encontrar cociclos es a partir de extensiones escindidas de cuadrado nulo. Además, encontramos una manera de distinguirlas a través de la cohomología de Hochschild: uno espera que el teorema de clasificación sea útil porque la cohomología de Hochschild nos provee de herramientas para calcular ese $HH^2$ .

Referencias: Weibel y Cartan-Eilenberg.

La parte principal del post se termina aquí. Veamos ahora algunos comentarios y ejemplos.

Otras extensiones

Algunos comentarios:

Suponete ahora que $A$ es conmutativa, y sea $M$ un A-bimódulo. Podés querer clasificar las extensiones $B$ de $A$ por $M$ que sean álgebras conmutativas, también. En este caso la modificación es sencilla: el efecto de la conmutatividad de $B$ es que el cociclo $c_\sigma:A\otimes A\to M$ asociado a una sección $\sigma$ satisface $c_\sigma(a,a')=c_\sigma(a',a)$ ; decimos entonces que es simétrico. Sea $H^2_c(A,M)$ el submódulo de $H^2(A,M)$ obtenido como clases de equivalencia de 2-cociclos simétricos. El teorema de Hochschild dice, en este caso, que está en correspondencia biunívoca con las clases de equivalencia de extensiones escindidas de cuadrado nulo de $A$ por $M$ por álgebras conmutativas. Este $H^2_c$ coincide con el primer módulo de cohomología de André-Quillen, que es una teoría de cohomología para álgebras conmutativas.

Olvidándonos del problema inicial de encontrar productos en $A\oplus M$ , podemos concentrarnos en el hecho de que acabamos de clasificar las extensiones de $A$ por $M$ de cuadrado nulo escindidas. Uno podría preguntarse si hay manera de clasificar las extensiones de cuadrado nulo, no necesariamente escindidas. Acá la cosa ya es más difícil: no tenemos secciones así que chau cociclos. Pero parece que se puede hacer, al menos esto aparece mencionado en la introducción de este artículo, y parece que el módulo que los clasifica ya no es dado por la segunda cohomología de Hochschild pero por la segunda cohomología de Hochschild topológica. (más directamente, por la segunda cohomología de Shukla. También, por la segunda cohomología de Mac Lane. Estas cosas no son todas iguales en general, pero hasta dimensión dos sí).

Hay extensiones más complicadas que también se pueden clasificar con cohomología de Hochschild. Por ejemplo, acá, sección 3.2, se discute un poco de lo que clasifica el $HH^3$ . También se comenta un poco sobre la cohomología de Shukla que decía más arriba (teorema 4.4.1).

Álgebras aumentadas

Sea $B$ una $k$ -álgebra aumentada, i.e. viene con un morfismo de k-álgebras $B\to k$ . Como $\epsilon(1)=1$ , entonces $\epsilon \circ \eta=id$ donde $\eta:k\to B$ es la unidad de $B$ . Esto significa que tenemos una sucesión exacta corta escindida

$0\to I \to B\to k\to 0$

donde $I=ker \epsilon$ . O sea, tenemos que $B$ es una extensión escindida de $k$ por $I$ . Este es un caso particularmente fácil de extensión, porque con la nomenclatura de arriba, estamos tomando $A=k$ el cual es el ejemplo inicial de $k$ -álgebra.

¿Es esta extensión de cuadrado nulo? Claro que no, en general. No hay razón de esperar que la estructura de álgebra que hay en $B\cong k\oplus I$ venga inducida por la de $k$ … i.e., no hay razón de esperar que ese isomorfismo preserve el producto.

Observar que la sección $\eta:k\to B$ preserva el producto, así que si resultara que la extensión es de cuadrado nulo, entonces la extensión sería la trivial.

Ejemplo: cohomología

Si $X$ es un espacio topológico punteado y $H^*$ es la cohomología con coeficientes en un anillo conmutativo $k$ , entonces $H^*(X)$ es una $k$ -álgebra aumentada: el mapa $pt.\to X$ que escoge el punto base induce $H^*(X)\to H^*(pt.)=k$ . El núcleo de este mapa es la cohomología reducida $\tilde H^*(X)$ .

Así, $H^*(X)$ es una extensión escindida de $k$ por el $k$ -módulo $\tilde H^*(X)$ :

$0\to \tilde H^* (X)\to H^* (X)\to k\to 0$ .

Pero en general no es de cuadrado nulo, claro que no… en general, el producto cup en $\tilde H^*(X)$ no tiene por qué ser trivial. Pero hay un caso sencillo en el que lo es: si $X$ es un co-h-espacio (o menos en general, un cogrupo topológico), como por ejemplo lo es la suspensión reducida $\Sigma X$ , entonces el producto cup de dos elementos que no están en grado cero es nulo (referencia: Switzer 13.66). Así, tenemos que la cohomología $H^*(\Sigma X)$ es la extensión de cuadrado nulo escindida trivial de $k$ por $H^*(X)$ .

Creo que este ejemplo está bueno. Es medio extremo: el anillo $k$ es chiquito y $H^*(X)$ es grande, así que para que la extensión sea de cuadrado nulo, lo cual quiere decir que la multiplicación en el núcleo (que en consecuencia es grande), $\tilde H^*(X)$ , es nula, la multiplicación en $H^*(X)$ tiene que ser la mayor parte del tiempo nula.

Estaría bueno tener un ejemplo concreto de extensión de cuadrado nulo $B\to A$ donde $A$ no es tanto más chico que $B$ .

Secciones de la extensión trivial que son morfismos de álgebras

Consideremos la extensión de cuadrado nulo trivial de $A$ por $M$ . Podemos preguntarnos cuántas secciones tiene que sean morfismos de álgebras. Esto ya no es una pregunta que concierna realmente a lo de poner estructuras de álgebra diferentes en $A\oplus M$ , pues como vimos arriba, si una sección es un morfismo de álgebras, su 2-cociclo asociado es nulo, así que todas estas secciones definen el mismo producto (al menos con el procedimiento de arriba).

Si escribís la sección $\sigma:A\to A\oplus M$ como $\sigma=(\sigma_A,\sigma_M)$ , entonces la condición de sección es $\sigma_A=id$ , y la condición de ser morfismo de álgebras es exactamente que $\sigma_M:A\to M$ sea una derivación, esto es, satisface $\sigma_M(aa')=\sigma_M(a)a'+a\sigma_M(a')$ .

¡Y estos son los 1-cociclos de Hochschild! (en este caso sale directo de las definiciones, no hay que trabajar nada). Vuelve a aparecer Hochschild. Tales cociclos son cohomólogos si difieren por una derivación principal, i.e. una de la forma $a\mapsto am-ma$ para un $m\in M$ fijo. Así, podemos ver el $HH^1(A,M)$ como clasificando las secciones de la extensión de cuadrado nulo trivial que sean morfismos de álgebra, módulo la relación «diferir por una derivación principal». Estaría bueno poder traducir esa condición en términos directamente de la sección (i.e. vista como sección y no como derivación), pero no me doy cuenta cómo hacerlo ahora. A lo sumo cabe hacer la observación que si $M$ es un bimódulo simétrico, i.e. la acción a izquierda y a derecha coinciden, entonces la relación de equivalencia es trivial.

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