Homología de Hochschild y espacios de Eilenberg-Mac Lane

La homología de Hochschild es una “teoría de homología” (en algún sentido) para álgebras. La verdad es que no tengo un gran insight para lo que mide de verdad. Los grupos de dimensión baja (0, 1, ¿2?) tienen una interpretación sencilla y aceptada, pero a mí me falta un “insight general” sobre lo que mide. Así que voy a ofrecer dos ejemplos que encuentro que iluminan, en el próximo par de posts. Empiezo con el álgebra de grupo.

Sea G un grupo. Por diversos motivos los espacios de Eilenberg-Mac Lane K(G,n) son interesantes (G abeliano si n\geq 2). Listemos algunos de ellos:

a) K(G,1)=BG, el espacio clasificante para G-fibrados principales,

b) todo espacio (tipo de homotopía, en realidad) se construye a partir de K(G,n)‘s a través de su torre de Postnikov, así que son como los “building blocks” para tipos de homotopía (dualmente a como las esferas son los building blocks de los complejos CW),

c) la cohomología singular de un espacio satisface H^n(X;G)=[X,K(G,n)] (y la homología singular también se puede expresar mediante estos espacios, de una forma un poco más sutil).

Es razonable querer estudiar la (co)homología de estos espacios. Algunos motivos son:

a) usando c, obtenemos que H^n(K(G,m);G)=[K(G,m),K(G,n)]: la cohomología de los Eilenberg-Mac Lane nos dan las operaciones cohomológicas (estables o inestables, e.g. los cuadrados o potencias de Steenrod), que son útiles a la hora de distinguir espacios.

b) Combinar la torre de Postnikov con la sucesión espectral de Serre permite determinar la (co)homología de un espacio, siempre y cuando conozcamos la (co)homología del espacio de Eilenberg-Mac Lane correspondiente.

Esto debería ser suficiente motivación topológica. Ahora bien: dado que el tipo de homotopía K(G,n) depende sólo de G y n, y dado que la (co)homología es un invariante homotópico, la (co)homología de los K(G,n) depende sólo de G y n, así que es razonable esperar que se puedan expresar de manera puramente algebraica.

Para n=1 esto es clásico: es exactamente lo que nos da la (co)homología de grupos, expresable en términos puramente de álgebra homológica, nada de topología. Así, H_*(K(G,1);k)=H_*(G,k)=Tor_*^{k[G]}(k,k) (el segundo término es la homología del grupo G con coeficientes en k, que se puede expresar como ese Tor).

Hochschild desarrolló una teoría de “homología de álgebras”, de tal forma que la homología del álgebra de grupo k[G] con coeficientes en k coincide exactamente con lo de arriba. Obviamente, si queremos que la generalización sea razonable, se debe cumplir que si A es un álgebra aumentada, HH_*(A,k)=Tor_*^A(k,k), y esto se cumple en efecto. Este es un primer motivo de por qué la homología de Hochschild es razonable.

Pirashvili, muchos años más tarde, se dio cuenta de cómo extender esto a espacios K(G,n), con una “homología de Hochschild superior” del álgebra k[G] relativa a k (que bien podría llamarse también “homología de grupos superior” de G…).

Lo cierto es que esto no es meramente una reformulación de H_*(K(G,1)). El álgebra homológica es poderosa, y es en efecto lo que utilizaron Eilenberg, Mac Lane, Cartan, para determinar completamente la homología de los K(G,n). La joda es el hecho de que un Tor lo calculamos con cualquier resolución proyectiva.

 

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