Una prueba elegante de la asociatividad de la diferencia simétrica

De rebote (de hecho, en el artículo de Halmos: «Does mathematics have elements?») me encontré con una prueba elegante de que la operación de diferencia simétrica en el conjunto de subconjuntos de un conjunto , definida como  para todo es asociativa.

La prueba que yo conocía era: remangarse y hacer cuentas como un anormal. En su momento yo preferí hacer una «prueba» con diagramas de Venn y convencerme de que estos reflejaban realmente todos los casos posibles. Pero igual no era muy satisfactorio.

Hete aquí el argumento:

A cada le podemos asociar una función , su función característica , definida como  .

En el conjunto de funciones tenemos una estructura de grupo abeliano dada por la suma punto a punto.

Observemos ahora que . En particular, .

Esto nos dice que la función , , donde manda la diferencia simétrica en la suma, i.e. .

Ahora bien, esta «función que respeta la estructura» entre y es obviamente inyectiva. Pero la operación en este último conjunto tiene las propiedades de un grupo abeliano, en particular es asociativa, entonces ya está 😀 En efecto (omitiendo las barritas arriba):

.

Pero es inyectiva, entonces