La extensión de la restricción de escalares de un módulo

Por alguna razón u otra, los functores de extensión-restricción de escalares aparecen una y otra vez en este blog, por ejemplo acá.

Hoy la pregunta es la siguiente. Supongamos que R\to S es un homomorfismo de anillos, y que M es un S-módulo (derecho). Cómo se relaciona M con M\otimes_R S, la extensión de escalares a S de la restricción de escalares de M a R?

1) Para empezar, un ejemplo de que no son iguales. Tomemos \mathbb R \subset \mathbb C y \mathbb C^n como \mathbb C-módulo. Entonces \mathbb C^n \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \cong \mathbb R^{2n} \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \cong \mathbb C^{2n}.

2) Vemos que el módulo original es un sumando directo de su extensión de su restricción de escalares. Esto vale en general, si lo expresamos adecuadamente.

En efecto, tenemos un S-morfismo \varphi:M\otimes_R S \to M definido como \varphi(m\otimes s)=ms. Es sobreyectivo, y “casi que” tiene una sección: el mapa \psi: M\to M\otimes_R S definido como \psi(m)=m\otimes 1. Por qué digo “casi”? Porque este mapa no es S-lineal en general, sino apenas R-lineal.

Así que tenemos una descomposición M\otimes_R S \cong M\oplus ker \varphi, como R-módulos.

3) Otra cosa para decir. Sea N un R-módulo proyectivo. Entonces N\otimes_R S, su extensión de escalares a S, es proyectivo como S-módulo. En efecto,

\hom_S(N\otimes_R S,-) \cong \hom_R(N, \hom_S(S,-)) \cong \hom_R(N,-).

En particular, si M es tal que su restricción de escalares es R-proyectiva, entonces su extensión de escalares M\otimes_R S también lo es.

4) La última línea nos lleva hacernos la siguiente pregunta: si M es R-proyectivo, debe ser S-proyectivo?

Respuesta: no. Ejemplo: Sea K tu cuerpo preferido, y consideremos K\subset K[x,y], el anillo de polinomios en dos variables. Sea M=(x,y), el ideal generado por ambas indeterminadas. Este ideal no es principal, luego como K[x,y] es un dominio de factorización única, M no es K[x,y]-proyectivo (lema 4.25 de Rotman, intro to homological algebra, 2nd. ed). Pero M sí que es K-proyectivo, pues K es un cuerpo.

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2 respuestas a La extensión de la restricción de escalares de un módulo

  1. bestone dijo:

    Mmhm. Esto es un caso particular de una pregunta más general: dada una categoría con una mónada T, dado un objeto C, ¿qué podemos decir de C conociendo T(C)?

  2. Pingback: Productos tensoriales sobre dominios | blocdemat

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