La dimensión de los reales como espacio vectorial racional es infinita

La prueba usual de que \mathbb{R} como \mathbb{Q}-espacio vectorial tiene dimensión infinita es esencialmente así:

Supongamos que tiene dimensión n<\infty. En este caso, es isomorfo a \mathbb{Q}^n. Esto es absurdo, pues \mathbb{Q} es numerable y por lo tanto el producto cartesiano finito \mathbb{Q}^n es numerable, mientras que \mathbb{R} no lo es. \square

Genial. ¿Pero podemos dar una prueba que no use reducción al absurdo? Por ejemplo, exhibiendo explícitamente un conjunto A\subset \mathbb{R} infinito que sea \mathbb{Q}-linealmente independiente.

Pues sí, podemos, lo cual nos provee de una demostración diferente que además de elemental (pues no usa nociones de numerabilidad) ¡es muy sencilla! Dice así:

Sea A=\{\log(p): p \mbox{ primo}\}\subset \mathbb{R}. Es un conjunto infinito, pues hay infinitos primos diferentes, y el logaritmo es una función inyectiva.

Para ver que es linealmente independiente, por definición, tenemos que ver que cualquier subconjunto finito es linealmente independiente. Sea entonces p_1,\dots,p_n primos distintos.

Sea c_1 \log(p_1)+\dots+c_n\log(p_n)=0 con c_i\in \mathbb{Q}. Multiplicando por el producto de los denominadores de los c_i, podemos suponer que c_i\in \mathbb{Z}.

Por las propiedades básicas del logaritmo, esta ecuación es equivalente a p_1^{c_1}\cdots p_n^{c_n}=1.

Los c_i pueden ser enteros positivos, negativos o nulos. Pasando los p_i^{c_i} con c_i negativo multiplicando, obtenemos que dos productos de potencias naturales de primos son iguales. Pero como los primos son todos distintos, por la unicidad de la factorización en primos, necesariamente los exponentes deben ser todos nulos, i.e., c_1=\dots=c_n=0. \square

Es una prueba bastante sorprendente, no sólo por lo ingeniosa, sino por lo que usa: la unicidad de factorización en primos de \mathbb{Z}, lo cual a priori no tiene ninguna conexión. Supongo que la conexión involucra que \mathbb{Q} sea el cuerpo de fracciones de \mathbb{Z}, y seguramente otras cosas más profundas de teoría de números que desconozco.

Esta prueba está buena para un curso elemental de álgebra lineal (de hecho, la acabo de incorporar como ejercicio de práctico :P) por no usar numerabilidad. Pero no podemos concluir realmente cuál es la dimensión de \mathbb{R} sobre \mathbb{Q}, tan solo que es infinita (distinción que no puede apreciar el estudiante de primero que no tiene nociones de numerabilidad y cardinalidad).

De hecho, la dimensión de \mathbb{R} sobre \mathbb{Q} es el continuo. Porque si V es un \mathbb{Q}-espacio vectorial de dimensión numerable, entonces debe ser numerable (el conjunto de \mathbb{Q}-combinaciones lineales de un conjunto numerable es numerable).

Fuente: este post en math.SE.

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4 respuestas a La dimensión de los reales como espacio vectorial racional es infinita

  1. agustin dijo:

    demas…. corregite ahí cuando decís: “Por ejemplo, exhibiendo explícitamente un conjunto infinito que no sea Q -linealmente independiente.”
    sería que no sea Q -linealmente independiente o que sea Q -linealmente independiente, pero decidite jua.
    Agustín

    • bstonek dijo:

      Querrás decir, “que no sea Q-linealmente dependiente”, te mezclaste vos también ;D Lo gracioso es que ya me habían señalado otro detalle de ese estilo, se ve que la noche que escribí el post me había atacado de dislexia 😛

      Gracias por señalarlo!

  2. Pingback: La dimensión de los reales como espacio vectorial racional es infinita | Blog del Departamento de Álgebra

  3. Fredo dijo:

    Buena prueba.
    Una nota medio filosófica: Al final sí puedes concluir que la dimensión de R en Q no es numerable, pero eso no implica que sea el cardinal de R (a menos que utilices la Hipótesis del Continuo) 😛

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