Fibrados y clases características

Voy a dar una charlita en una escuela de verano en Polonia, sobre fibrados y clases características. Para la ocasión, escribí unas notas.

Son un poquito violentas. Es imposible dar una clase de dos horas sobre fibrados y clases características, y a la vez ser razonable. Así que la cantidad de ejemplos es escasa, los detalles son pocos, y las pruebas son inexistentes.

Hay algo que tienen de idiosincrásico, quizás. Defino los fibrados vectoriales como fibrados topológicos con fibra \mathbb{F}^n y grupo de estructura el grupo general lineal. Parece ser una complicación innecesaria para una charla corta. ¿Por qué no definirlos con la definición directa (que también doy, porque ayuda a la intuición, claro)?

Cuando definís axiomáticamente las clases de Chern (fijemos el cuerpo como el de los complejos, por ejemplo), uno de los axiomas te dice que la primera clase de Chern del fibrado de línea universal es un generador del correspondiente grupo de cohomología. ¿Qué pinta ese fibrado ahí? Bueno, es el fibrado universal: todo fibrado complejo se consigue como pullback de éste, así que tiene un rol especial. Ok. Reformulo la pregunta entonces: ¿por qué el fibrado de línea universal es  S^\infty \to \mathbb{C} P^\infty?

Y yo creo que esta pregunta se dilucida un poco si generalizamos el panorama. Si nos convencemos de que los fibrados vectoriales son lo mismo que los U(n)-fibrados principales (esto es lo que lleva trabajo), entonces resulta natural considerar G-fibrados principales en general, y preguntarse sobre la existencia de G-fibrados universales. La respuesta es que sí y ahí es donde pinta el espacio clasificante BG; el fibrado universal es EG\to BG.

Consideremos U(1)=S^1. Hay unos mapas que son típicamente S^1-fibrados principales: los cocientes S^{2n+1}\to \mathbb{C}P^n. Pero el espacio total no es contráctil. Tomá el colímite de éstos para conseguir S^\infty \to \mathbb{C}P^\infty, y entonces tenés un S^1-fibrado principal con espacio total contráctil, lo cual implica que BS^1=\mathbb{C}P^\infty. Y así es cómo aparece el espacio proyectivo en esta historia.

Creo que está bueno verlo así. No solo porque es más general, i.e., uno puede querer considerar G-fibrados y sus clases características para otros G, sino porque queda más claro por qué aparecen los espacios proyectivos (y, para fibrados de rango superior, las Grasmannianas) en esta historia.

(Edito: las notas fueron actualizadas hace unos días. Además comento que, bueno, la “charlita” se convirtió en “cursito” de casi cuatro horas… en mi defensa, debo decir que había expositores que faltaron entonces había tiempo de sobra.)

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