La homología como homotopía: la A-linealización de un espacio, y una construcción de los K(A,n)

Pregunta “elemental”: dado un espacio X, puedo encontrar un espacio Y tal que los grupos de homología de X sean los de homotopía de Y? Misma pregunta para la cohomología.

Voy a dar primero una respuesta general y espectral. Si esto no te gusta, salteátelo nomás y saltá a la segunda respuesta, que es algo lindo y totalmente elemental (que sin embargo solo se aplica a priori a la (co)homología singular) (edito: resulta que fue extendido a cualquier teoría de (co)homología por Mostovoy, esto lo aprendí de este post en MO).

  1. Respuesta general (no es el punto del post, pero que sirva de introducción, o sentite libre de saltártela si no te gustan los espectros):

La respuesta es que sí… si nos permitimos que “grupo de homotopía” signifique “grupo de homotopía de un espectro”. Empecemos con la cohomología. Si te acordás de la sección 2 de este post (edito meses después: el tal post ha sido bajado por contener demasiados errores), sabés que cualquier teoría de cohomología (reducida) E^* se puede representar en la categoría homotópica estable: es decir, dado un espacio X, existe un \Omega-espectro E tal que

E^*(X)=[\Sigma^\infty X,E]_{-*}

donde el objeto de la derecha está graduado así: [\Sigma^\infty X,E]_{-n}=[\Sigma^n\Sigma^\infty X,E]=[X,E_n]. Esta última igualdad no es completamente trivial (Switzer 8.42).

Obtenemos entonces

E^n(X)=[S^{-n} \wedge \Sigma^\infty X,E]=\pi_{-n}Map(\Sigma^\infty X,E)

por la adjunción fundamental del producto smash, y así obtenemos que los grupos de E-cohomología de X son grupos de homotopía de un cierto espectro.

O sea, lo que hemos hecho ha sido arreglárnoslas, invirtiendo la esfera, para transformar el objeto [X,E_n] de la igualdad E^n(X)=[X,E_n] en un cierto grupo de homotopía.

Resulta que para homología podemos hacer lo mismo. Esta vez no podemos tomar el mismo punto de partida porque no podemos “representar” la homología por espacios como podemos hacer con la cohomología. Pero podemos hacer algo “dual”, y funciona. Si dados espectros E y F tenemos que la E-cohomología de F está dada por

E^*(F)=\pi_{-*}Map(F,E)

como acabamos de ilustrar, uno se ve tentado a hacer la definición dual para homología, usando la adjunción antes mentada, y conseguir

E_*(F)=\pi_*(E\wedge F)

como definición de la E-homología de F. Bueno, esto funciona. Es decir, es una definición razonable que coincide con lo clásico. Sí, si es la primera vez que ves esto quizás te sorprenda, como me pasó a mí, darte cuenta de lo que esto implica para la homología singular:

H_n(X;A)=colim_k \pi_{n+k}(X\wedge K(A,k)).

(recordar que (E\wedge \Sigma^\infty X)_n=E_n\wedge X ).

Así, hemos representado la homología de un espacio como la homotopía de un espectro.

2. Respuesta curiosa

Ahora dejo de lado todo lo anterior y cuento un resultado que acabo de leer, que me sorprendió. Sea X un espacio punteado y A un grupo abeliano.

Consideremos el espacio A[X], llamado la A-linealización de Xque como conjunto es el producto tensorial de A con el grupo abeliano reducido generado por los puntos de X. En otras palabras, los puntos de A[X] son sumas finitas \sum a_i x_i donde a_i\in A y x_i\in X, módulo la relación de que todos los A-múltiplos del punto base son cero. Se le da una topología usando el mapa sobreyectivo obvio desde \bigsqcup_n A^n\times X^n.

Dado un n, no es difícil definir un mapa

\tilde H_n(X;A)\to \pi_n(A[X]),

puede ser un ejercicio divertido, o si no ver el ejemplo 1.14 del unfinished book project on symmetric spectra de Schwede (de acá es de donde lo aprendí). La joda es que si tenés una combinación lineal de cadenas singulares, usando la estructura lineal de A[X] juntás esto a un mapa desde el n-simplex a A[X], y este mapa baja al cociente por el borde del simplex, lo cual da la esfera. Y uno prueba que es un isomorfismo, para todo n. Así, a un espacio X le asociamos un espacio A[X] tal que la A-homología reducida de X es la homotopía de A[X].

Schwede no da referencias, pero un raudo googleo lleva a este post en MO, que contiene referencias y más.

Me pareció lindo el resultado. Podemos ver la homología singular no solo como la homotopía de un espectro, que es un poco hacer trampa, sino como la homotopía de un espacio que se construye de manera astuta. Es un poco como ver la homología a nivel de espacios. Toda la “linealización” que pasa por considerar el grupo abeliano libre en las cadenas singulares a nivel de la homología, la realizamos directamente a nivel del espacio, considerando puntos pesados por elementos de A, y después sólo tomamos los grupos de homotopía.

Observar además que esto da una construcción muy sencilla de un espacio de Eilenberg-Mac Lane de tipo (A,n). En efecto, considerá X=S^n, entonces A[S^n] te da lo deseado.

CAVEAT a posteriori (29/01/16): Recordar que el functor \Sigma^\infty tiene un adjunto a izquierda, \Omega^\infty de espectros en espacios, y con esa adjunción uno obtiene directamente que \pi_n(E)=\pi_n(\Omega^\infty E) para cualquier espectro E, si n\geq 0 (un espacio no tiene grupos de homotopía negativos). Esto nos dice que la homotopía (no negativa) de cualquier espectro se consigue como la homotopía de un espacio. Así, mi queja arriba de que el primer approach es “un poco hacer trampa”, no es cierto por las razones mentadas, sino por otras: lo que ocurre es que la descripción es muy poco explícita, porque el functor \Omega^\infty es poco explícito. Es tomar el 0-ésimo espacio de un remplazo fibrante de tu espectro, i.e., del remplazo de tu espectro por un \Omega-espectro equivalente.

Así que tenemos

E_*(F)=\pi_*(E\wedge F)=\pi_*(\Omega^\infty(E\wedge F)),

grupos de homotopía de un espacio, como queríamos, pero andá a saber qué espacio es! El producto smash es fácil de entender cuando F es un espectro de suspensión, pero aunque tu espectro de partida E fuera un \Omega-espectro, E\wedge \sigma^\infty X no tiene por qué serlo. Así que lo que resulta es algo muy poco explícito.

Es por eso que el approach 2 es interesante: no porque te dé la homología como homotopía de un espacio, algo que “ya sabíamos” gracias a todo esto espectral, sino porque te da un tal espacio que es realmente muy concreto y manejable.

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