La homología como homotopía (2) y el teorema de Dold-Thom

Este post es una continuación de éste. En la segunda parte de aquél, a un espacio X y un grupo abeliano A le habíamos asociado un espacio A[X], llamado la A-linealización de X, tal que \pi_n (A[X])\cong \tilde{H}_n(X;A).

Bueno, resulta que se puede decir más de esto, y que resulta más profundo de lo que pensé en un principio. Vamos a ver la relación de esto con el “producto infinito simétrico” y con el isomorfismo de Dold-Thom.

Parte 1: de la relación con los espacios clasificantes.

A un monoide topológico G uno le puede asociar un espacio clasificante BG (esto se puede hacer en mayor generalidad, para H-espacios, etc.) Una manera linda de construirlo la hizo Milgram, en su artículo sobre la construcción barra. Es esencialmente un counterpart “geométrico” a la construcción barra para álgebras (y se identifican via tomar cadenas singulares o celulares). Un repaso más moderno de esta construcción se puede encontrar en el “Concise course” de May, o en sus “Simplicial objects in algebraic topology” si no me falla la memoria (puede que lo haga).

En el post anterior observamos que tomando X=S^n obteníamos que A[S^n] es un espacio K(A,n), tomando A como un grupo abeliano (discreto). Dado que el espacio clasificante de un grupo discreto A es un K(A,1), cabe preguntarse si, más generalmente, la construcción de linealización es válida para un grupo (o monoide) topológico G, y si nos va a dar el espacio clasificante.

La respuesta es que sí. La idea es la misma, de considerar los puntos de X “pesados”, con coeficientes en G (ver McCord o remark 3 de esto.)

Y no sorprende entonces que, si G es un monoide topológico, este nuevo G[S^1] sea pues un modelo para BG. Este es el teorema 9.17 del artículo de McCord linkeado en el post anterior. Me parece que la construcción que se recupera es exactamente la de Milgram.

Así, vemos que la utilidad de esta construcción extiende a lo que vimos antes: permite construir espacios clasificantes. En definitiva, resulta razonable escribir G[X]=B(G,X): esta es la notación que adopta McCord. Tenemos pues B(G,S^1)=BG: McCord generaliza a Milgram. Y si G es discreto, B(G,X)=G[X], la linealización ya discutida.

Parte 2: de la relación con los espacios infinitos simétricos, el teorema de Dold-Thom, y una interpretación universal

Esta teoría generaliza una teoría más clásica, y por alguna razón, más divulgada (está en Hatcher), la del teorema de Dold-Thom. Este teorema resuelve el mismo problema básico del post anterior (dado un espacio X encontrar un espacio Y tal que la homotopía de Y sea la homología de X). Aquí estamos firmemente en el caso discreto.

Inciso: Cabe resaltar que la linealización introducida en el post anterior es para un espacio punteado. Así, la homología considerada es la reducida. También se pueden hacer las cosas para espacios sin puntear y homología no reducida, pero la interpretación universal es menos agradable. Hatcher, por ejemplo, considera el caso no punteado.

El producto simétrico infinito de un espacio, SP(X), fue introducido por Dold y Thom a finales de los 50. De manera más moderna y abstracta, podemos decir que SP(X) es el monoide topológico abeliano libre generado por X. Resulta aquí claro por qué queremos espacios punteados: queremos tener una unidad en el monoide. (También podemos formular una propiedad universal análoga para la linealización, donde en vez de \mathbb N (que aparece por lo de “monoide”) tomamos el monoide dado).

Explícitamente, SP(X) (también denotado SP^\infty(X) es \bigsqcup X^n identificando cualquier upla con otra upla donde está el punto base, e identificando dos pares de uplas del mismo largo donde las letras están en otro orden. En otras palabras, SP(X) es el colímite de los espacios \bigsqcup X^n/\Sigma_n, los cocientes por la acción del grupo simétrico permutando las letras. Estos son los espacios llamados “productos simétricos”, i.e. los SP^n(X), en los cuales no nos vamos a interesar.

Ahora bien: observar que SP(X)=\mathbb N[X]. Se prueba que de hecho esto es homotópicamente equivalente a \mathbb Z[X] (ver acá, 2.5.2). Así, el modelo de McCord generaliza la construcción de Dold-Thom y su teorema, que es que

\pi_i (SP(X))= \tilde H_i(X;\mathbb Z).

En particular, SP(S^n) es un K(\mathbb Z,n) y más en general, SP de un espacio de Moore M(G,n) es un K(G,n), pasando de homología concentrada en grado n a homotopía concentrada en grado n via la construcción SP.

Ahora, uno puede preguntarse si ese isomorfismo se puede realizar a nivel topológico, de alguna manera. La respuesta es que sí: Dold y Thom probaron que, de hecho,

SP(X)\simeq \prod_i K(\tilde H_i(X;\mathbb Z),i).

Tomando grupos de homotopía se deduce la igualdad de arriba.

Conclusión: McCord generaliza tanto la construcción barra de Milgram para construir espacios clasificantes de monoides topológicos, y el producto infinito simétrico y su correspondiente teorema de Dold-Thom.

Comentario final: SP(X) es la abelianización de la construcción de James J(X), que es el monoide topológico libre sobre X (no abeliano). Esto se deduce de abstract nonsense me parece, sobre composición de functores adjuntos, etc. Y es intuitivo: J(X) es como SP(X) pero sin cocientar por la acción del grupo simétrico. De la construcción de James también se pueden decir cosas interesantes e igual hablo otro día.

Otro comentario final: El nLab afirma que se deduce Mayer-Vietoris de este teorema.

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2 respuestas a La homología como homotopía (2) y el teorema de Dold-Thom

  1. Pingback: La homología como homotopía (3) | blocdemat

  2. bestone dijo:

    Buena referencia abstracta para lo de James y de SP: May, Geometry of iterated loop spaces, sección 3.

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