Monoides no-sesgados

WordReference me sugiere como traducción de «unbiased» la palabra «imparcial». Pero si yo hablara de monoides imparciales, parecería que los monoides usuales son parciales, pero una tal cosa ya existe y se llama categoría. Así que opté por «no-sesgados».

Hace un año que no escribo, y para peor en esta ocasión tampoco voy a escribir. Pero tengo una excusa, y es que ya escribí.

Monoids

Es una nota que escribí para una charla, donde cuento un cuento que hace tiempo que tenía ganas de poner en limpio. El punto de la charla era motivar la definición de Lurie de una -categoría monoidal simétrica, pero uno no precisa conocer la teoría de Lurie para apreciar la nota, o al menos su comienzo.

La idea es reformular la noción de monoide (commutativo).

Monoide = monoide no-sesgado = functores monoidales simétricos de FinSet a Set = functores desde a Set que satisfacen que los mapas de Segal son isomorfismos.

Parte de la gracia es entender por qué aparece FinSet, y por qué aparece (la categoría de conjuntos finitos punteados. Y no, la respuesta filosóficamente correcta no es «punteando a Fin»).

Después esto se traslada a la noción de categoría monoidal simétrica, porque después de todo, esto no es más que un pseudomonoide simétrico en la 2-categoría Cat. Todo esto se adapta, pero encima se puede agregar un paso más, gracias a la construcción de Grothendieck, que desde un 2-functor te construye una opfibración de Grothendieck. Y esta última formulación es la que adopta Lurie.

Pero no quiero volver a escribir lo que ya escribí, así que los invito a mirar esa nota y la dejo por acá.

Extensiones de cuadrado nulo

Esa es mi traducción de «square-zero extension»… es lo que hay.

Curiosamente, pearece que la homología de Hochschild es algo que se repite estos últimos años en este blog. Supongo que porque es algo que es elemental, que nunca aprendí sistemáticamente, y que sin embargo me veo llevado a entender de tanto en tanto.

A mí este problema se me apareció «en la naturaleza» más o menos así. Fijemos un anillo conmutativo, una -álgebra y un -módulo. Olvidando que tiene un producto, podés formar que es un -módulo. Ahora bien: dado que tiene un producto, capaz que este módulo de la forma que encontraste por la vida también tiene un producto… Capaz que podemos deducirlo de la estructura de , de alguna forma.

Eso es lo que vamos a ver en este post: vamos a clasificar ciertas estructuras de álgebra en que son particularmente simples. Más precisamente, aquellas tales que la proyección de módulos preserva el producto, y tales que , visto adentro del álgebra , tiene cuadrado nulo (i.e. si multiplicás dos de sus elementos, da cero).

Estas dos condiciones se resumen así: vamos a clasificar las extensiones de por que son de cuadrado nulo y que son escindidas (a veces se le llama «Hochschild» a la condición de split).

Formas diferenciales, diferenciales de Kähler y homología de Hochschild

Ponele que te gusta el lenguaje del álgebra y si lográs algebraizar una definición clásica te quedás contento porque la recordás más fácil. Entonces podés querer hacer eso con el concepto de «forma diferencial» sobre una variedad . Y si al hacer eso te encontrás con un gran teorema (Hochschild-Kostant-Rosenberg), te quedás aún más contento.

Añado que esto debe ser moralmente posible partiendo como dato algebraico de la -álgebra , pues, en efecto, contiene toda la información topológica y geométrica de (!).

Así que supongamos que sos esa persona y hagamos eso.

Homología de Hochschild y espacios de Eilenberg-Mac Lane

La homología de Hochschild es una «teoría de homología» (en algún sentido) para álgebras. La verdad es que no tengo un gran insight para lo que mide de verdad. Los grupos de dimensión baja (0, 1, ¿2?) tienen una interpretación sencilla y aceptada, pero a mí me falta un «insight general» sobre lo que mide. Así que voy a ofrecer dos ejemplos que encuentro que iluminan, en el próximo par de posts. Empiezo con el álgebra de grupo.

La homología como homotopía (4)

Este tema está dando jugo. (Este post ha sido completamente reescrito el 16 de marzo siguiente).

¿Qué es la homología singular de un espacio? Podemos verla como la siguiente cadena de functores, de espacios, a conjuntos simpliciales, a grupos abelianos simpliciales, a complejos de cadenas no-negativos, a grupos abelianos graduados:

Pensemos un poco en cada uno de estos procesos.

Sólo la homología singular viene de la homología de cadenas

La homología singular con coeficientes en un grupo abeliano se obtiene, clásicamente, de la siguiente manera: a un espacio se le asocia un complejo de cadenas , y luego se toma la homología de ese complejo.

Una cosa parecida que podemos hacer es: si partimos de un grupo abeliano graduado , entonces a le asociamos el complejo de cadenas , y luego tomamos la homología. Como la homología conmuta con las sumas directas, obtenemos

.

Esto también da una teoría de homología, generalizada esta vez, y los coeficientes nos dan exactamente . Es la razón para introducir esos shifts. Observar que si está concentrado en grado cero entonces recuperamos la homología singular con coeficientes en . Llamémosle pues homología singular generalizada con coeficientes en el grupo abeliano graduado .

Pregunta: ¿acaso toda teoría de homología generalizada se puede conseguir primero asociándole a un complejo de cadenas y luego tomando homología?

La homología como homotopía (3)

Este post es una continuación de este.

Desvelado y aburrido me puse a pensar sobre una pregunta que me ronda la cabeza desde hace unos meses, y me di cuenta de que ya conocía la respuesta, y de que más aún, se conectaba con algo que había leído y que me había parecido muy loco; ahora me parece menos loco. Es divertido cómo a veces el conocimiento lo tenés pero la solución llega cuando dejás de pensar en el problema por un tiempo largo.

Mi problema era el siguiente. Para espacios (punteados), tenemos grupos de homotopía y grupos de homología. Los primeros tienen sucesiones exactas largas y los segundos también (diferentes). ¿Acaso podemos ver ambos como un caso particular de algo más general?

La homología como homotopía (2) y el teorema de Dold-Thom

Este post es una continuación de éste. En la segunda parte de aquél, a un espacio X y un grupo abeliano A le habíamos asociado un espacio , llamado la -linealización de X, tal que .

Bueno, resulta que se puede decir más de esto, y que resulta más profundo de lo que pensé en un principio. Vamos a ver la relación de esto con el «producto infinito simétrico» y con el isomorfismo de Dold-Thom.

La homología como homotopía: la A-linealización de un espacio, y una construcción de los K(A,n)

Pregunta «elemental»: dado un espacio , puedo encontrar un espacio tal que los grupos de homología de sean los de homotopía de ? Misma pregunta para la cohomología.

Voy a dar primero una respuesta general y espectral. Si esto no te gusta, salteátelo nomás y saltá a la segunda respuesta, que es algo lindo y totalmente elemental (que sin embargo solo se aplica a priori a la (co)homología singular) (edito: resulta que fue extendido a cualquier teoría de (co)homología por Mostovoy, esto lo aprendí de este post en MO).

Fibrados y clases características

Voy a dar una charlita en una escuela de verano en Polonia, sobre fibrados y clases características. Para la ocasión, escribí unas notas.

Son un poquito violentas. Es imposible dar una clase de dos horas sobre fibrados y clases características, y a la vez ser razonable. Así que la cantidad de ejemplos es escasa, los detalles son pocos, y las pruebas son inexistentes.

Hay algo que tienen de idiosincrásico, quizás. Defino los fibrados vectoriales como fibrados topológicos con fibra y grupo de estructura el grupo general lineal. Parece ser una complicación innecesaria para una charla corta. ¿Por qué no definirlos con la definición directa (que también doy, porque ayuda a la intuición, claro)?

Cuando definís axiomáticamente las clases de Chern (fijemos el cuerpo como el de los complejos, por ejemplo), uno de los axiomas te dice que la primera clase de Chern del fibrado de línea universal es un generador del correspondiente grupo de cohomología. ¿Qué pinta ese fibrado ahí? Bueno, es el fibrado universal: todo fibrado complejo se consigue como pullback de éste, así que tiene un rol especial. Ok. Reformulo la pregunta entonces: ¿por qué el fibrado de línea universal es  ?

Y yo creo que esta pregunta se dilucida un poco si generalizamos el panorama. Si nos convencemos de que los fibrados vectoriales son lo mismo que los -fibrados principales (esto es lo que lleva trabajo), entonces resulta natural considerar -fibrados principales en general, y preguntarse sobre la existencia de -fibrados universales. La respuesta es que sí y ahí es donde pinta el espacio clasificante ; el fibrado universal es .

Consideremos . Hay unos mapas que son típicamente -fibrados principales: los cocientes . Pero el espacio total no es contráctil. Tomá el colímite de éstos para conseguir , y entonces tenés un -fibrado principal con espacio total contráctil, lo cual implica que . Y así es cómo aparece el espacio proyectivo en esta historia.

Creo que está bueno verlo así. No solo porque es más general, i.e., uno puede querer considerar -fibrados y sus clases características para otros , sino porque queda más claro por qué aparecen los espacios proyectivos (y, para fibrados de rango superior, las Grasmannianas) en esta historia.

(Edito: las notas fueron actualizadas hace unos días. Además comento que, bueno, la «charlita» se convirtió en «cursito» de casi cuatro horas… en mi defensa, debo decir que había expositores que faltaron entonces había tiempo de sobra.)