Preguntas del millón

Publicado el agosto 12, 2011 por bestone

Para el curso de cálculo 1 me divertí mucho encontrando preguntas que eran perfectamente comprensibles para ellos pero cuya resolución podía ser muy complicada, excediendo de hecho (a veces por mucho) los límites del curso. Me parece que estuvo muy bueno, porque mostrás problemas de cálculo que entienden perfectamente pero son a veces imposibles de resolver con las técnicas disponibles, lo cual (al menos a mí) aumenta la curiosidad por aprender más cosas más profundas.

Las reproduzco aquí porque me parece que son en general cuestiones interesantes y no del todo conocidas.

1) Estudiar la derivabilidad de una función f:I \to \mathbb{R} monótona. ¿Puede una función monótona no ser derivable en un conjunto «grande» de puntos?

Respuesta: no. Una función monótona es derivable en casi todo punto, es decir, sólo no es derivable en un conjunto de medida nula. Esta afirmación va a tener mayor sentido en curso de Análisis Real. La demostración de este teorema se encuentra en la página 101 del libro clásico de Folland, «Introductory Real Analysis with applications». De aquí se deduce que el conjunto de puntos de discontinuidad también tiene medida nula (pues todo punto de discontinuidad es un punto de no derivabilidad, y un subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula en una medida completa).

Pero hay un resultado más fuerte que es cierto: no sólo el conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida nula, más aún: es numerable (todo conjunto numerable es de medida nula, pero hay conjuntos de medida nula no numerables). Esto está demostrado en el mismo teorema de la página 101 del Folland. Se conoce como teorema de Froda.

2) Sea f:[a,b] \to \mathbb{R} una función continua en un intervalo cerrado. ¿Puede su gráfico tener longitud infinita?

Si f es de clase C^1, entonces claramente el resultado no es cierto, porque en un intervalo cerrado una función continua es acotada, y entonces la fórmula \int_a^b \sqrt{1+f'^2(x)}\, dx que nos da el largo del gráfico es una integral propia.

Tenemos que buscar entonces funciones que no sean de clase C^1, y para éstas, dar una noción adecuada de longitud de gráfico.

Definición: Definimos la variación total de f, notada V(f), como:

V(f) = \sup \left\{ \sum\limits_{i=0}^{n-1} \lvert f(t_{i+1})-f(t_i) \rvert: a=t_0<t_1<\dots <t_n=b, n\in \mathbb{Z}^+ \right\}

Si ponemos un punto a recorrer la gráfica con velocidad constante, es el desplazamiento en el eje de las y. Si V(f)<\infty decimos que f es de variación acotada. Observar que nuestra definición no hace intervenir la (a priori inexistente) derivada de f (y de hecho es una definición que se generaliza automáticamente a cualquier espacio métrico).

Si definimos la longitud del gráfico como la variación total pero remplazando \lvert f(t_{i+1})-f(t_i) \rvert por d((t_i,f(t_i)), (t_{i+1}, f(t_{i+1})) entonces obtenemos la «verdadera» longitud, pero no es difícil probar que una curva es rectificable (i.e. con longitud de gráfico finita) si y sólo si es de variación acotada.

Probar que el gráfico de f puede ser infinito es probar que existen funciones continuas en un compacto y con variación no acotada.

Ejemplo: f:[0,1]\to \mathbb{R}, f(x)=x\sin(1/x) si x\not=0, f(x)=0 en caso contrario. Es continua.

Para ver que no tiene variación acotada, basta encontrar para cada n una partición tal que \sum\limits_{i=0}^\infty \lvert f(t_{i+1})-f(t_i) \rvert = \infty.

Sea P_n=\{0\} \cup \{\frac{2}{k\pi}:0 < k\leq \} \cup \{1\}, es una partición de [0,1].

\sum\limits_{k=1}^\infty \lvert \frac{2}{(k+1)\pi} \sin(\frac{(k+1)\pi}{2})-\frac{2}{k\pi} \sin(\frac{k\pi}{2})\rvert \geq \sum\limits_{k=1, k\ impar}^\infty \frac{2}{k\pi} = \frac{2}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \infty

y ya está.

3) Sea I\subset \mathbb{R} un intervalo acotado. ¿Existe f:I \to \mathbb{R} derivable y con derivada acotada, tal que la derivada no es integrable?

¡Sí! Se llama función de Volterra. Para construirla se precisa de técnicas del curso de Análisis Real. Se parte de la observación de que la función x\mapsto x^2 \sin(1/x) si x\not=0, 0\mapsto 0 tiene derivada discontinua en 0. Queremos copiar el comportamiento de la función en el punto 0 «en todos lados». Para esto tenemos que usar el conjunto de Smith-Volterra-Cantor, también llamado conjunto de Cantor gordo, que es nunca denso pero tiene medida positiva.

4) ¿Cómo caracterizar las funciones f: (a,b)\to \mathbb{R} que son primitivas, i.e. que son la derivada de otra función g:(a,b)\to \mathbb{R} derivable en todo punto?

Esto es muy muy muy complicado, y entra en juego la teoría descriptiva de conjuntos que, entre otras cosas, estudia la complejidad de los subconjuntos de \mathbb{R}. Ver este post de MathOverflow.

5) Calcular: \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))}{\arcsin(\arctan(x))-\arctan(\arcsin(x))}

Este problema fue planteado por V.I. Arnold, que lamentaba que la capacidad de cálculo de los matemáticos del siglo XX hubiera disminuido tanto.

Se puede resolver aplicando L’Hôpital pero esta no es la manera más astuta, porque las derivadas son horrendas, y además, hay que aplicarlo siete veces para levantar la indeterminación. En cambio, se pueden usar argumentos con series de potencias, que además Arnold justifica geométricamente.

Ver este post de MathOverflow y esta página.

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3 respuestas a Preguntas del millón

  1. Maru S dijo:
    agosto 12, 2011 en 13:12

    Y yo que nunca crei que un practico de calculo 1 pudiese ser divertido..

    Lo de que el conjunto de los puntos de discontinuidad tiene medida nula lo dice el Teo. de Lebesgue, no? Bajo las hipotesis de ese teorema, ese conjunto es numerable?

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    • bstonek dijo:
      agosto 12, 2011 en 13:38

      Todo práctico puede ser divertido, hay que meterle imaginación nada más 🙂

      Con «teorema de Lebesgue» me imagino que te estás refiriendo a: una función acotada f:[a,b]\to \mathbb{R} es integrable Riemann si y sólo si su conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida nula. (Este criterio es de hecho debido a Riemann, ver http://math.stackexchange.com/questions/39922/riemann-integral-question/39970#39970 )

      Ahora estamos tratando con funciones monótonas, no con funciones acotadas e integrables, así que a priori son cosas diferentes.

      Lo que sí se puede observar es lo siguiente: si una función es acotada y monótona, entonces es acotada e integrable Riemann (clásico teorema de cálculo 1), y por lo tanto su conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida nula.

      Pero lo que comenté arriba no precisa que la función sea acotada, con ser monótona ya está, tiene medida nula el conjunto de puntos de discontinuidad. Además, obtuvimos algo más fuerte, y es que el conjunto de puntos de *no derivabilidad* tiene medida nula.

      Si entiendo bien tu segunda pregunta, no, no necesariamente. Basta encontrar una función que tenga como conjunto de puntos de discontinuidad a un conjunto de medida nula no numerable, p.ej la función característica del Cantor. Observar que una tal función no puede ser monótona por el teorema de Froda.

      Responder
  2. Maru S dijo:
    agosto 12, 2011 en 14:04

    Me habia olvidado del «detallecito» de que ese teorema pedia que fueran acotadas 🙂
    De verdad muy interesante !

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