El sueño del pibe

Sigo con la tanda de cosas que dejé para hacer cuando terminara el curso y tuviera más tiempo libre 🙂

Una breve introducción: sabemos que (¡en característica cero!) (a+b)^n\not=a^n+b^n. Asumir que sí se da la igualdad es un error típico de estudiantes de secundaria. En inglés, le llaman freshman’s dream a esta pretensión (el sueño del estudiante de primero). Si lo pusieron en honor a un error que cometen estudiantes de primero de facultad, están muy en el horno, digo yo.

Así como me parece que el freshman’s dream no debe ocurrirles a los estudiantes de primero, también me parece que el sophomore’s dream (sueño del estudiante de segundo) tampoco debe ocurrírseles a los estudiantes de segundo. Pero esta vez no porque crea que no son tan burros, sino porque es una igualdad (en este caso, cierta) que de tan alocada me parece muy difícil de conjeturar que es válida:

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^n}= \int_0^1 \frac{1}{x^x}\, dx

Es una locura, espero que estén de acuerdo conmigo. ¿Se dan cuenta? La función x\mapsto \frac{1}{x^x} es tal que cuando sumás sus valores en los reales entre 0 y 1, te da lo mismo que cuando sumás sus valores en los enteros de 1 a +\infty.

Esto lo había puesto como último “ejercicio de profundización” en el práctico de series. No esperaba que lo hiciera nadie (de hecho, nadie nunca me preguntó nada sobre los ejercicios de profundización hechos con tanto cariño :P), lo puse más bien porque me divertía a mí. Así que ahora redacté la solución, la colgué (para que no la lea nadie), pero la reproduzco acá donde quizás sea más apreciada. Es divertida:

Como \displaystyle e^x=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}, entonces:

\displaystyle \frac{1}{x^x}=e^{-x\log x}= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^k (\log x)^k

Por lo tanto \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^x}\, dx = \int_0^1 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^k (\log x)^k\, dx.

Afirmación: \displaystyle \int_0^1 \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^k (\log x)^k\, dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^1 \frac{(-1)^k}{k!} x^k (\log x)^k\, dx.

Demostración: “Sabemos” que si g_n\rightrightarrows g (convergencia uniforme), entonces el límite de las integrales es la integral del límite, i.e. \int_0^1 g(x)\, dx = \lim\limits_n \int_0^1 g_n(x)\, dx. En nuestro caso, definimos:

f_k(x):= \displaystyle \frac{(-1)^k}{k!} x^k (\log x)^k, \hspace{1cm} g_n(x):= \sum_{k=0}^n f_k(x)

Queremos entonces probar que (g_n) converge uniformemente, pues en ese caso, por linealidad de la integral:

\displaystyle \int_0^1 \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) \, dx \displaystyle = \lim_n \int_0^1\sum_{k=0}^n f_k(x) \, dx \displaystyle=\lim_n \sum_{k=0}^{n}  \displaystyle \int_0^1 f_k(x) \, dx \displaystyle = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_0^1 f_k(x) \, dx

Para ver que (g_n) converge uniformemente, usamos el criterio M de Weierstrass: si \lvert f_n(x) \rvert\leq M_n para todo n y para todo x\in (0,1), y se tiene que \sum M_n converge, entonces \sum f_n converge uniformemente.

Es un ejercicio sencillo verificar que x\in(0,1) \Rightarrow 0\leq \lvert x\log x \rvert\leq 1. Por lo tanto, si C=\max\{x\lvert \log x \rvert: x\in (0,1)\}, se tiene:

\lvert f_n(x) \rvert = \left\lvert\frac{(-1)^n}{n!} x^n (\log x)^n \right\lvert \leq \frac{x^n \lvert \log x \rvert ^n}{n!}\leq \frac{C}{n!} =: M_n

y M_n es tal que \sum M_n= C\sum \frac{1}{n!}<\infty, demostrando la afirmación.

Queremos entonces calcular \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \int_0^1 x^k (-\log x)^k\, dx.

Hagamos el cambio de variable u=-\log x. Se obtiene x=e^{-u}, dx=-e^{-u}du, u(0)=+\infty, u(1)=0, y por lo tanto:

\displaystyle A:= \int_0^1 x^k (-\log x)^k\, dx = \int_0^{+\infty} e^{-ku} u^k e^{-u}\, du = \int_0^{+\infty} u^k e^{-(k+1)u}\, du

Ahora hagamos el cambio de variable v=(k+1)u, de donde u=\frac{v}{k+1}, du=\frac{dv}{k+1}:

\displaystyle A = \frac{1}{k+1} \int_0^{+\infty} \left(\frac{v}{k+1}\right)^k e^{-v} \, dv = \frac{1}{(k+1)^{k+1}} \int_0^{+\infty} v^k e^{-v}\, dv = \frac{\Gamma(k+1)}{(k+1)^{k+1}} =\frac{k!}{(k+1)^{k+1}}

donde \Gamma es la función Gamma. En conclusión,

\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \int_0^1 x^k (-\log x)^k\, dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k!}{k! (k+1)^{k+1}} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)^{k+1}} \stackrel{k+1=n}{=} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^n}
terminando la demostración.

La afirmación (que se puede intercambiar la integral con la suma infinita), les puse en la letra que lo asumieran. En realidad, en mi curso de cálculo 1 nosotros vimos convergencia uniforme y el criterio M, así que en realidad no es tan fuera de tema :). Como sugerencia, les dije de expresar e^{-x \log x} como serie de Taylor. Con esas dos cosas, creo que queda un ejercicio bonito y no tan alocado de cálculo 1. Lo más difícil me parece que es reconocer ahí la función Gamma, pero bueno, también estaba en el práctico (en otro).

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