Solubilidad por radicales

Bueno, acabo de terminar la versión 1.0 de las notas de álgebra 2 🙂

En realidad es álgebra 2.5 (lo menos), porque cubre muchas más cosas que un curso normal de álgebra 2.

Pero cómo resistirse a estudiar, por ejemplo, la solubilidad de polinomios por radicales, cuando con la maquinaria de cuerpos y Galois que se desarrolla, uno queda tan cerca?

En el liceo cuando aprendí números complejos el profesor nos hizo la historia de Cardano y Tartaglia, de hecho vimos la fórmula para las raíces de una ecuación de tercer grado (horreur), y nos comentó que existía una análoga para la ecuación de cuarto grado, pero no así para las de grado mayor.

Desde entonces quedé bastante azorado con este resultado. Si n\geq 5, no existe ninguna fórmula general para las raíces de un polinomio de grado n, que consista de sumas, productos y extracciones sucesivas de raíces.

Cómo diantre podría hacer uno para demostrar que no existe ninguna fórmula? Obviamente, demostrar que existe una fórmula es a priori más sencillo, basta encontrarla. Pero demostrar que no existe ninguna?

Para eso hace falta definir rigurosamente qué significa que las raíces de un polinomio sean expresables por radicales.  Acá aparece naturalmente el concepto de adjunción de raíces a un cuerpo, y luego, el de extensión radical de cuerpos.

Las definiciones son realmente naturales, y no sorprende, visto que aparece una torre de cuerpos (que es agregar una raíz \alpha de un polinomio en F[X] a F, luego una raíz a un polinomio en F(\alpha)[X] a F(\alpha), etc., finitas veces), que aparezca en la vuelta también una torre de grupos, básicamente “tomando grupos de Galois”.

Y aquí, con una torre de grupos, aparece la condición de que el grupo sea resoluble. Un grupo finito es resoluble si existe una serie de composición tal que los factores son cíclicos de orden primo.

Juntando la maquinaria de los grupos resolubles y de la teoría de Galois, uno prueba el fantástico

Teorema: Sea F cuerpo de característica cero, f\in F[X]. Entonces f es resoluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es resoluble.

Es fantástico. Uno empieza con una motivación respecto de raíces de polinomios. Luego pasa a la teoría de cuerpos para poder expresar con precisión qué significa que sean resolubles por radicales, y luego uno encuentra una condición algebraica necesaria y suficiente para que el polinomio sea resoluble por radicales.

Corolario: El polinomio general de grado n no es resoluble por radicales (en característica cero), para n \geq 5.

Demostración: el polinomio general de grado n tiene grupo de Galois S_n que no es resoluble para n \geq 5, porque su única serie de composición es \{id\} \triangleleft A_n \triangleleft S_n (pues A_n es simple) y A_n no es cíclico de orden primo.

Habiendo visto (varias) demostraciones del teorema fundamental del álgebra, y ahora la demostración de este teorema, puedo dormir más tranquilo.

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