Los grupos de homotopía estable de las esferas, la teoría cromática y las familias griegas

Hace poco tiempo escribí un post sobre los primeros cálculos de homotopía de las esferas. Ahora quiero comentar un poco el punto de vista ligeramente más moderno. Todo lo que comenté en ese post es, como más moderno, de los años 50. Hoy quiero comentar una o dos cosas que llegan hasta los 80.

¿Por qué los grupos de homotopía estable de las esferas son más calculables que los inestables? Hay una primera razón muy sencilla: tenemos más estructura. Los grupos de homotopía inestable no tienen más estructura que la que cada uno de ellos posee. Sin embargo, en los grupos de homotopía estable \{\pi_i^s\}_{i\geq 0} tenemos una estructura no solo de grupo abeliano graduado sino de anillo graduado conmutativo (en el sentido graduado).

Primero, una explicación de de dónde sale ese producto. Podemos conseguirlo de dos maneras equivalentes. Sean f\in \pi_i^s, g\in \pi_j^s, representados por f:S^{n+i}\to S^n y g:S^{m+j}\to S^m en el rango estable. Definamos fg\in \pi_{i+j}^s. Dos opciones:

1) f\wedge g: S^{n+m+i+j} \to S^{n+m} también está en el rango estable, así que así definimos fg,

2) Podemos tomar m tan grande que m+j-n\geq 0. Así que podemos considerar la composición

y así definimos el producto.

O sea, o las smasheamos, o suspendemos una de ellas hasta que las podamos componer, y las componemos. Si hubiéramos suspendido g daba lo mismo. La joda es justamente que estamos trabajando en el rango estable, lo cual nos permite hacer esto.

Vale la pena recordar el

Teorema (Serre, 1953): \pi_i^s es finito para todo i>0.

Así que dado que se tratan de grupos abelianos finitos, resulta muy razonable estudiarlos “un primo p a la vez”. Como el producto de dos elementos de p-torsión es de p-torsión, tenemos entonces anillos graduados {}_p\pi_*^s, uno para cada p.

Y así es que vamos a atacar el estudio de la homotopía de las esferas. Ya no vamos a estudiarlos “cuantitativamente”, uno por vez, usando herramientas como las torres de Postnikov y la sucesión espectral de Serre (como se consigue el \pi_4(S^3), por ejemplo), sino que vamos a estudiar todo el anillo junto, pero un primo por vez. La estructura multiplicativa va a resultar preciosa.

Lo que sucede es que los patrones que exhiben estos grupos son complicadísimos. A menos que haya una revolución increíble (medalla(s) Fields mediante), no hay chance de dar una descripción explícita, concreta, de todos los grupos, para todos los primos, todo. Así que el enfoque nuevo lo que intenta hacer es encontrar esos patrones, para lograr entender un pedacito de esos grupos (i.e. un subgrupo), y esos patrones se extienden por todos los índices, usando justamente el producto.

Resulta inevitable linkear a los diagramas de Hatcher, basados en los cálculos del libro de Ravenel. Conviene mirar también al libro de Hatcher, páginas 384-388: ahí están los diagramas, y las explicaciones de la página y del libro son complementarias.

Yo hace tiempo que vengo vichando los diagramas esos, desde hace como un año, y no entendía casi nada de cómo leerlos. Ahora entiendo un poquito más.

Para empezar con lo fácil, recordemos que \pi_1^s,\pi_3^s, \pi_7^s son cíclicos y están generados por las fibraciones de Hopf \eta: S^3\to S^2, \nu:S^7\to S^4, \sigma:S^{15}\to S^8. Y hay relaciones entre ellos. Por ejemplo, \eta^3=12\nu, y \eta^4=0. Esto último pasa en general…

Teorema (Nishida 1973): Todos los elementos de \pi_i^s con i>0 son nilpotentes.

Lo primero que uno puede decir sobre \pi_*^s, que está completamente entendido desde los trabajos de Adams de los 60, es un cierto subgrupo llamado “la imagen de J“, que representa esa “regla horizontal” en las imágenes de Hatcher, y en la que están los \eta, \nu, \sigma.

Básicamente, hay un morfismo \pi_*(SO) \to \pi_*^s, y esa regla horizontal es la imagen de J, que exhibe una 8-periodicidad. Sí, esto recuerda a la periodicidad de Bott, y no sorprende dado que tenemos al grupo (especial) ortogonal ahí, como en la K-teoría topológica.

Construcción de los v_n (y a partir de acá el lector debería dudar más de lo habitual, porque creo que hay varias cosas que son directamente falsas o que entendí al revés).

Consideremos un mapa de grado p, S^n\to S^n (que hay uno a menos de homotopía, así que lo denotamos p. Si lo suspendemos, obtenemos un mapa de grado p, S^{n+1}\to S^{n+1}. Así que este mapa define en realidad un endomorfismo de grado cero en el espectro de las esferas: v_0:=p:S\to S.

Tomale la cofibra. Esto da un espacio razonablemente denotado S/p, o también V(0), y de hecho es una manera de construir el espectro de Moore mod p, o sea, un espectro que es conectivo, tiene a \mathbb F_p como 0-ésimo grupo de homotopía, y los grupos de homología a coeficientes enteros en grados positivos es nula. (Sí, esta es la versión “espectrificada” de un espacio de Moore mod p, análogamente a Eilenberg-Mac Lane).

Resulta que el primer elemento de {}_p\pi_*^s está en grado 2p-3, y le llamamos \alpha_1.

Con un poco de magia (realmente no tengo idea cómo se consigue, creo que usando la sucesión espectral de Adams?), si p\geq 3, usando este \alpha_1 conseguimos un mapa

v_1:\Sigma^{2p-1}S/p\to S/p.

Este es el mapa que Adams estudia en sus artículos sobre el J-homomorfismo, y es este mapa el que genera la imagen de J en {}_p\pi_*^s, y la primera de la familia de letras griegas: los \{\alpha_t\}_t, que se consiguen más o menos que iterando el v_1 (suspendiendo adecuadamente para que esto tenga sentido, como en la definición del producto al comienzo del post).

Esto se puede más o menos iterar. Si p \geq 5, podemos tomar la cofibra de v_1, que denotamos, lógicamente, S/(p,v_1), y se consigue un mapa

v_2:\Sigma^{2(p^2-1)}S/(p,v_1)\to S/(p,v_1)

y se consiguen los \beta_n\in {}_p\pi^s_{2(p^2-1)n-2p}.

Esto se puede iterar, y conseguir las familias de letras griegas en general. Por ejemplo, después vienen las \gamma_n\in {}_p\pi_{2(p^3-1)n-2p^2-2p-1}^s, si p\geq 7.

Lo que se puede decir sobre estas familias de letras griegas es muy complicado y muy específico a los niveles bajos. Si el v_1 estaba vinculado con la K-teoría topológica (la imagen de J), el v_2 está vinculado con la cohomología elíptica, sea lo que sea eso.

Hatcher dice, sobre las familias de letras griegas,

The theory behind these families \beta_n and \gamma_n and possible generalizations is one of the most esoteric branches of algebraic topology.

En fin. Todo el libro de Ravenel está más o menos abocado a estas cosas. Las cosas son (aún) más complicadas, porque algunas letras griegas pueden definirse para los primos más chicos donde a priori no dijimos que estuvieran definidas. También hay algunas letras griegas fraccionales. Esto es un trabajo de orfebrería impresionante, cuya herramienta más importante, si entiendo bien, es la sucesión espectral de Adams-Novikov, que permite estudiar los grupos de homotopía estable a partir del cobordismo complejo.

Con estos v_n obtenemos una filtración del espectro de las esferas localizado en p, llamada filtración cromática. El hecho de que esta filtración sea exhaustiva es el teorema de convergencia cromática.

Y hace rato que estoy hablando de filosofía, en realidad, porque lo que entiendo de todo esto es ínfimo. Nomás agrego que para probar que estas familias que construimos no son nulas es que uno usa las K-teorías de Morava, de las cuales hay, justamente, una para cada n (fijado un primo).

The traditional approach to chromatic phenomena proceeds by what Hopkins calls “designer homotopy theory”. In this one designs, abstractly and without regard to geometry, spectra with desired chromatic properties: Morava K-theories K(n), […]

(Carlsson, Douglas, Dundas)

Fuentes: el libro de Ravenel, estas notas de Miller, estas notas, el libro de Hatcher.

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