De compleciones, localizaciones, enteros p-ádicos y teoremas de fractura

Introducción: Marcando ya una clara tendencia, este va a ser un post puramente algebraico pero con motivaciones topológicas.

Si entiendo bien, una de las ideas atrás de la sucesión espectral de Adams es calcular el grupo abeliano graduado [X,Y] de clases de homotopía entre dos espectros X e Y (si te molestan los espectros, podés pensar que son las clases de homotopía estable entre dos espacios; este es el punto de vista más clásico pero también es más técnicamente engorroso).

A partir de qué información? A partir de la información que nos da alguna teoría de cohomología multiplicativa E_*, por ejemplo, la cohomología singular módulo un primo p. La página E_2 de la sucesión espectral es un Ext sobre el álgebra de Steenrod, de los dos módulos de cohomología mod p de X e Y.

Pero la cohomología a coeficientes módulo p, intuitivamente, no hay chance de que pueda “detectar” la parte no p-primaria. A lo que va a converger la sucesión espectral de Adams va a ser entonces a algo que involucra a [X,Y] pero que nos permite quedarnos sólo con la información en el primo p. ¿Qué significa eso exactamente? Aquí es donde entra el álgebra.

Compleciones de anillos: voy a definir rápidamente lo que son los números p-ádicos. Pero trabajemos en un poco más de generalidad, que es útil.

Sea R un anillo conmutativo e I\subset R un ideal. Tenemos una filtración de R por las potencias de I: \dots\subset I^2\subset I \subset R. Tomando cocientes, esto define un sistema inverso

\dots \to R/I^3 \to R/I^2\to R/I

con los mapas los cocientes obvios.

Definición: El anillo \hat{R}_I, llamado la compleción I-ádica de R, es el límite inverso del sistema de arriba.

Por las dudas, si como yo vos estás acostumbrado a ver sistemas inversos de módulos más que de anillos, no te preocupes, que el functor de olvido de anillos a grupos abelianos crea límites. En palabras menos categóricas, tomá el límite inverso de arriba como grupos abelianos, ponele el producto obvio, y te da el límite inverso como anillos.

Así que podemos dar una descripción explícita de este anillo:

\hat{R}_I=\{(x_n)\in \prod_{n\geq 1}R/I^n: x_{n+1}-x_n\in I^n para todo n\}.

Ahora bien, este anillo es de hecho un anillo topológico. Y como espacio métrico, es un espacio métrico completo, y de hecho, se obtiene como compleción en el sentido métrico del anillo R con una métrica adecuada. Mirando fijo la expresión explícita de arriba, no resulta descabellado definir una norma en R como sigue:

Proposición: supongamos que la filtración de R es Hausdorff, i.e. \bigcap_n I^n=0. Sea e>1, por ejemplo, e=2 (da lo mismo). Definimos

\|x\|=1/e^j si x\in I^j pero x\not\in I^{j+1},

y \|0\|=0. Esto define una norma en R, y de hecho, el espacio métrico asociado un espacio ultramétrico, i.e. se satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad triangular: d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}. \square

La condición de Hausdorff se precisa para que la definición tenga sentido, claro. A partir de ahora la supondremos. Observar que una base de entornos abiertos de 0 es \{I^n\}_{n\geq 0}.

Recordar que una manera de obtener una compleción (necesariamente única a menos de isometría) de un espacio métrico (X,d) es considerar el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en X y cocientar por la relación de equivalencia “(x_n)\sim (y_n) si y sólo si d(x_n,y_n)\to 0“; a este conjunto le ponés la métrica d(x,y)=\lim_n d(x_n,y_n).

Proposición: \hat{R}_I es la compleción de (R,d) como espacio métrico, en el sentido de arriba. En particular, es un espacio topológico, y su topología se llama topología de Krull o topología I-ádica. De hecho, las operaciones de suma y producto son continuas, convirtiéndolo pues en un anillo topológico. \square

Observar que tenemos una inclusión canónica R\to \hat{R}_I (como hay siempre una inclusión canónica de un espacio métrico en una compleción). Este mapa es universal respecto de los morfismos de anillos topológicos hacia anillos topológicos completos.

Ejemplo: Tomar R=\mathbb Z y I=(n), n\in \mathbb Z. Obtenemos un anillo que denotaremos \mathbb{Z}_n. En el caso en que n=p es un primo, es el anillo de los enteros p-ádicos, también llamado p-compleción de \mathbb{Z}, y también denotado \hat{\mathbb{Z}}_p. A partir de ahora nos concentraremos en estos.

Es un ejemplo de un anillo profinito: es un anillo que es un límite proyectivo de un sistema inverso de anillos finitos.

Enteros p-ádicos.

Propiedades:

1) \mathbb{Z}_n\cong\prod_{p| n} \mathbb{Z}_p como anillos topológicos. Así que realmente no nos perdemos mucho estudiando sólo los enteros p-ádicos en vez de todos los \mathbb{Z}_n.

2) Propiedades conjuntisto-topológicas: \mathbb{Z}_p es no-numerable, compacto, Hausdorff y totalmente disconexo.

3) Los enteros p-ádicos son, pues, sucesiones (a_n)_{n\geq 1} con a_n\in \mathbb{Z}/p^n tales que si m\geq n entonces a_m\equiv a_n (mod p^n). Así, dos enteros p-ádicos están cerca cuanto mayor sea el primer índice donde difieren.

Son sucesiones, sí, pero uno debería pensarlos como algún tipo de “número”. Esto es análogo a lo que pasa cuando uno construye los reales a partir de los racionales con, por ejemplo, cortaduras: la descripción explícita es fea, y uno intenta pensar en ella lo menos posible. Por ahí leí la descripción “the ring \mathbb Z_p can be viewed as \mathbb Z_{p^n} for an infinitely high power n“. En un ratito vamos a dar una moraleja mejor.

Unos enteros p-ádicos que son fáciles son los que están en la imagen de la inclusión por \mathbb{Z}. Es decir, son las sucesiones (a+(p),a+(p^2),\dots). Aquí la topología se ve fácilmente: dos de estos están cerca si y sólo si los enteros correspondientes son congruentes módulo una potencia alta de p.

Se puede demostrar que todo número p-ádico admite una única escritura como serie formal \sum_{n\geq 1} a_np^{n-1} con a_n\in \{0,\dots,p-1\}. Esto es mejor que lo que pasa con los números reales en la base que quieras, por ejemplo: ahí no tenés unicidad, por los problemas clásicos del estilo 0,\bar{9}=1.

4) \mathbb{Z}_p es un dominio íntegro, así que podemos construir su cuerpo de fracciones: es el llamado cuerpo de los números p-ádicos, y denotado \mathbb{Q}_p. Es de característica cero (¡no p!).

En este cuerpo, cualquier elemento se puede escribir como serie \sum_{i\geq k}a_ip^i, con a_i\in \{0,\dots,p-1\}, k\in \mathbb{Z} y a_k\neq 0.

Observar que lo que hicimos fue: primero completar \mathbb{Z} en p, y luego tomar cuerpo de fracciones. Cabe hacerse la pregunta si esto se puede permutar: si podemos primero tomar cuerpo de fracciones, i.e. pasar a \mathbb{Q}, y encontrar una métrica en \mathbb{Q} tal que \mathbb{Q}_p sea su compleción. (Cuadradito conmutativo a cargo del lector). Se puede:

Si x\in \mathbb{Q}^*, existe un único natural n tal que x=p^n\frac{a}{b} tales que p no divide ni a a ni a b. Definí \|x\|=1/e^n y \|0\|=0.

Otra observación: la clausura topológica de \mathbb{Z} en \mathbb{Q}_p es \mathbb{Z}_p.

5) \mathbb{Z}_p es un anillo local, i.e., tiene un único ideal maximal \mathfrak{m} que consiste de los enteros p-ádicos (a_n)_{n\geq 1} tales que a_1=0. Es decir, la copia de p\mathbb Z por la inclusión de \mathbb Z. El cuerpo residual es \mathbb F_p, y el isomorfismo \mathbb{Z}_p/\mathfrak{m}\to \mathbb F_p es (a_i)\mapsto a_1.

Relación con la localización:

La pregunta es inevitable: ¿cómo pensar los enteros p-ádicos estos? Mirá, yo mucho no te puedo decir, arranqué a estudiarlos esta mañana. Pero puedo intentarlo. Por ahí hay muchas explicaciones de tipo “numeritos”, pero a mí me cuesta horrores ver esas cosas. Así que voy a dar una explicación más algebraico-filosófica, sustentada en un teorema de Sullivan de los setentas, que surge de cómo los topólogos trabajan con estas cosas.

Otra construcción que podemos hacer con el primo p es localizar en p: considerar el anillo \mathbb{Z}_{(p)} que es localizar en el ideal primo (p), i.e., hacer invertible el complemento de (p). Explícitamente, el subanillo de \mathbb{Q} de las fracciones a/b donde p no divide a b.

La idea es simple: nos queremos concentrar en lo que pasa en p, matar a todo el resto. En este contexto, matar significa volver invertible, y eso es lo que hicimos: volvimos invertibles a todos los números que no son múltiplos de p. Lógicamente, nos queda un anillo local, con único ideal maximal p\mathbb{Z}_{(p)}: su complemento es invertible.

Resulta que el proceso de p-compleción se factoriza a través de la p-localización.

Proposición: Consideremos R=\mathbb{Z}_{(p)} e I=\mathfrak{m}. Entonces \hat{R}_{\mathfrak{m}}\cong \mathbb{Z}_p.

O sea, podemos primero localizar en (p), y ahí completar con respecto al único ideal maximal (que el inducido por el propio (p)), y lo que obtenemos son los enteros p-ádicos.

Lo que ocurre es que en los p-ádicos hemos “tirado más cosas”, no sólo los complementos de p. Cito a T. Lawson, que me dijo:

“p-completion also throws away anything which is rational (which, if you are already p-local, means that you throw away anything which is uniquely divisible by p^k for all k). it is the most you can recover from looking mod p, p^2, p^3, …”

Esto es un poco difuso para mí todavía, pero no es sino una explicación explícita del

Teorema de fractura aritmética (Sullivan, props. 1.17 y 1.18)

(1): El anillo de los enteros localizados en p se consigue como producto fibrado de los racionales y de los enteros p-ádicos, sobre \mathbb{Q}_p. En símbolos, \mathbb{Z}_p=\mathbb{Q}\times_{\mathbb{Q}_p}\mathbb{Z}_p, lo cual viene a ser un cuadrado de pullback en la categoría de anillos conmutativos.

(2): Los enteros se consiguen a partir de los racionales y a partir del producto de todas las p-compleciones de \mathbb{Z} y de los racionales, como producto fibrado sobre \mathbb{Q}\otimes \prod_p \mathbb{Z}_p. \square

A mí este teorema me parece fantástico. Me explica mucho mejor qué pintan los enteros p-ádicos: son algo que se consigue concentrándose en lo que pasa en p, y concentrándose aún más que la localización (¿? lo cierto es que no entiendo mucho esa segunda parte del proceso). Conociendo lo que pasa racionalmente y lo que pasa p-ádicamente para todo p, conseguimos todos los enteros.

Comparar con lo que pasa con las p-localizaciones: recuperar \mathbb{Z} a partir de \mathbb{Z}_{(p)} para todo p es fácil, basta intersectarlos todos como subanillos de \mathbb{Q}.

Otra cosa. Tenemos inclusiones \mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}_{(p)} \subset \mathbb{Z}_p \subset \mathbb{Q}_p que es un cuerpo de característica cero, así que la intersección \mathbb{Q}\cap \mathbb{Z}_p tiene sentido. ¿Cómo se compara con \mathbb{Z}_{(p)}? A priori lo incluye, pero observando que 1/p\in \mathbb{Z}_p obtenemos que son iguales.

Esto es coherente con nuestras intuiciones de arriba. O sea, lo que añaden los p-ádicos a \mathbb{Z}_{(p)} es… es… algo irracional. No sé decir más. Por lo pronto, \mathbb{Q}_p no es comparable con \mathbb{R} en el sentido conjuntista: por ejemplo, \sqrt{7}\not\in \mathbb{Q}_5 pero i \in \mathbb{Q}_5.

Volviendo al caso general:

Unas últimas palabras sobre el caso general. Si M es un R-módulo, podemos considerar la filtración \dots\subset I^2M\subset IM\subset M, y así definir \hat{M}_I=\lim M/I^nM.

En particular, podemos tomar un grupo abeliano A y considerar \hat{A}_p, que se llama su p-compleción.

Proposición (May-Ponto p. 154): si A es un grupo abeliano finitamente generado, entonces \hat{A}_p\cong A \otimes \mathbb{Z}_p.

Lo de la derecha se llama a veces “p-compleción formal”. Uno esperaría que fueran iguales, no? Como pasa con la localización de anillos y módulos respecto de un conjunto multiplicativo. Pero no son iguales en total generalidad.

Último comentario topológico:

A lo que converge fuertemente la sucesión espectral de Adams es a la p-compleción de [X,Y].

Hay también una noción de localización y de compleción de espacios, y más en general, de espectros… para la localización, es lo que se conoce como “localización de Bousfield”, y es lo que me espera estudiar mañana.

Fuentes: las notas del MIT de Sullivan, el libro de May y Ponto, y para el comienzo, el libro de álgebra homológica de Rotman.

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2 respuestas a De compleciones, localizaciones, enteros p-ádicos y teoremas de fractura

  1. anon dijo:

    “compleción” -> “completación” ?

    • bestone dijo:

      Bueno, “completación” no está en la rae, “compleción” sí y sus acepciones son convenientes:

      compleción.
      (Del lat. completĭo, -ōnis).
      1. f. p. us. Acción y efecto de completar.
      2. f. p. us. Cualidad de completo.

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