K-teoría algebraica, sus varias definiciones, y su relación con la topológica

La K-teoría algebraica superior admite varias definiciones. Quiero hacer sencillamente una revisión de (algunas de) ellas, de cuándo se aplican, de cuándo coinciden; lo poco que sé al respecto, como ayuda-memoria.

– La K-teoría de una categoría exacta (en particular, de una categoría abeliana). Aquí usamos la construcción Q de Quillen. O la construcción puramente algebraica debida a Grayson, que estudié para mi tesis de maestría.

– La K-teoría de una categoría de Waldhausen (en particular, de una categoría exacta). Aquí usamos la construcción S.

– La K-teoría de una categoría monoidal. Aquí tomamos primero su espacio clasificante (i.e. la realización geométrica del nervio), lo cual da un monoide topológico a menos de homotopía, y completarla a un grupo. Esto es como una versión topológica del grupo de Grothendieck, la “group completion”, que es una máquina: una infinite loop space machine.

Los primeros dos ítems coinciden cuando están ambos definidos, i.e., sobre una categoría exacta.

Todas estas se aplican al caso de la K-teoría algebraica clásica, la de un anillo (i.e. la de su categoría de módulos finitamente generados proyectivos), y coinciden. En este caso particular, además, tenemos una construcción más directa que es la construcción + aplicada al espacio clasificante del grupo general lineal del anillo.

Pero un punto sobre el que quiero llamar la atención es que en general las dos primeras con la tercera no coinciden, cuando están todas definidas. Un ejemplo de la geometría algebraica: la K-teoría de un esquema se define análogamente a la K-teoría topológica, i.e., se toma como categoría la categoría de fibrados vectoriales sobre el esquema. Pero si la consideramos como categoría exacta o como categoría monoidal con la suma de Whitney, la K-teoría da cosas diferentes. Ver acá.

La cosa es que en el caso de un anillo, consideramos los módulos f.g. proyectivos, así que toda sucesión exacta corta de tales módulos se escinde. Luego la definición monoidal o la definición exacta coinciden. Pero en general, una sucesión exacta corta no tiene por qué escindirse: la construcción exacta da algo más chico que la construcción monoidal (porque imponemos más relaciones).

Evidencia de que la definición “monoidal” de la K-teoría es terriblemente general es el hecho de que todo espectro conectivo surge como la K-teoría de una categoría monoidal simétrica… Esto es un teorema de Thomason, Symmetric monoidal categories model all connective spectra (1995).

¿Y qué hay de la K-teoría topológica?

Tenemos el bonito teorema de Serre-Swan, que dice que si X es un espacio de Hausdorff compacto (e.g. un CW finito), entonces el functor de secciones da una equivalencia de categorías desde la categoría de fibrados complejos sobre X hacia la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo C(X)=C(X,\mathbb{C}) (concentrémonos en el caso complejo), y esta equivalencia respeta la estructura monoidal.

Recordemos que el K^0 de X se define como el grupo de Grothendieck de la categoría de fibrados sobre X con la suma directa. Así que este teorema nos da que K^0(X)=K_0(C(X)). En palabras, la K-teoría topológica coincide con el 0-ésimo grupo de la K-teoría algebraica del anillo de funciones C(X).

Qué pasa con los grupos superiores? No, no coinciden. En otras palabras, el espectro de K-teoría topológica (conectiva, i.e., con grupos negativos nulos) de X no coincide con el espectro de K-teoría algebraica de su anillo de funciones. Mi intuición sobre estos temas es escasa, pero diría que esto no me sorprende: el espectro KU(X) es 2-periódico y está definido por periodicidad de Bott, mientras que el espectro K(C(X)) está definido por cualquiera de las tres maneras de arriba, y son técnicas muy diferentes, demasiado. Pero el problema interpretado adecuadamente, hay relaciones.

Para terminar, comento que me faltó (al menos) un escenario importante en el que está definido un “espectro de K-teoría algebraica”:

– La K-teoría algebraica de un espectro en anillos conmutativo R (commutative ring spectrum, spectre en anneaux commutatif). Se define como la K-teoría de la categoría de Waldhausen de los R-módulos celulares finitos. Esto está en analogía con el caso algebraico clásico. Se definió por vez primera en EKMM, capítulo 6, y surge de la tesis de Mandell. Se realiza el proyecto de Waldhausen, pues, de definir “brave new rings” y poder calcularles la K-teoría. Eventualmente habrá un post sobre la visión de Waldhausen de las cosas: de cómo a partir de la geometría topológica terminó en espectros y K-teorías algebraicas.

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