Álgebras sobre módulos graduados

Este va a ser un post puramente algebraico, pero empiezo dando mi motivación que viene de la topología. (Post corregido el 27/01/17)

En topología algebraica aparecen objetos graduados todo el tiempo. Quizás el más importante que aparece más rápido es el álgebra de cohomología: si R es un anillo conmutativo y X es un espacio, su cohomología singular H^*(X;R) es una R-álgebra graduada.

Así uno encuentra expresiones compactas como H^*(S^n)=\Lambda_{\mathbb{Z}}(x)=\mathbb{Z}[x]/(x^2) con |x|=n, que al comienzo a mí no me decían nada. “No entiendo”, pensaba, “qué significa ese grado ahí? Para mí, un álgebra exterior viene con un graduación dada, no entiendo por qué me especifican el grado de la indeterminada, no es siempre 1?”

Si vos pensás eso también, es que estás cayendo en la misma confusión que yo tenía. La cohomología de S^n es bien conocida, así que no es difícil entender que esas expresiones quieren decir: \mathbb{Z} en grad0 0, un grupo abeliano de rango 1 con un generador x en grado n, y cero en el resto de componentes, i.e. x^2=0.

Ok, pero cómo resolver la problemática de arriba, que en ese caso concreto es fácil darse cuenta ad hoc qué significa, pero en casos más elaborados puede ser menos transparente? ATENCIÓN: voy a utilizar una notación \Lambda que no va a coincidir con la usada en esa cohomología (no es mi culpa, estas cosas pasan).

Álgebras graduadas:

Esa problemática surge de la siguiente confusión. Cuando yo aprendí lo que eran las álgebras tensorial, simétrica, exterior, lo aprendí en el siguiente contexto. Sea k un anillo conmutativo, M un k-módulo. Definimos k-álgebras graduadas T(M), S(M), \Lambda(M), que son respectivamente el álgebra libre, el álgebra conmutativa libre y el álgebra anticonmutativa libre, de base M (en el sentido usual de que son adjuntos a izquierda de functores de olvido adecuados).

Primer llamado de atención: estamos considerando esas álgebras como graduadas internamente, como es la costumbre de los textos básicos de álgebra conmutativa, me parece. Es decir, para ellos, un álgebra graduada (para nosotros, un álgebra graduada internamente) es un álgebra A con una descomposición como grupo abeliano en suma directa A=\bigoplus_{n\geq 0}A_n tal que A_pA_q\subset A_{p+q}. Los elementos de A_n se llaman elementos homogéneos, etc. (Uno puede considerar graduaciones sobre monoides otros que \mathbb{N} pero no nos vamos a interesar por eso aquí).

En este contexto, la expresión de arriba, “\Lambda(x) con |x|=n” no tiene sentido alguno. Lo que tenemos que hacer es empezar a considerar graduaciones externas y álgebras sobre módulos graduados.

Te pido que te olvides de lo que significan las notaciones como \Lambda M, etc., pues las voy a redefinir en lo que sigue, en nuestro contexto.

Fijamos un anillo conmutativo k. Un k-módulo graduado (externamente; a partir de ahora omitiré esta clarificación a menudo) es una colección \{M_n\}_{n\in \mathbb N} de k-módulos, que denotaremos por M. La notación m\in M, |m|=n quiere decir m\in M_n.

Observar que estamos considerando un módulo graduado sobre un anillo pelado; también se pueden considerar módulos graduados sobre anillos graduados. Observar también que, en nuestro contexto, la noción de “homogéneo” no tiene sentido: todos los elementos son “homogéneos”. En otras palabras, no tenemos definida la suma de dos elementos que están en diferentes grados. En particular, la noción de “módulo graduado” del algebrista tiene más información, pues permite sumar elementos de grados diferentes. Pero nosotros no queremos considerar esas sumas: a fin de cuentas, ¿qué significa la suma de una clase de cohomología (singular, de un espacio) en grado 3 con una clase de cohomología en grado 4?

En otras palabras: partiendo de un módulo graduado M podemos formar la suma directa \bigoplus_n M_n. Esto puede verse como un módulo ya que es suma directa de módulos, de manera puramente formal. Pero esta estructura no nos interesa, pues, volviendo al ejemplo de la cohomología, ¿qué significado topológico tiene la suma abstracta de dos clases de cohomología en grados diferentes?
Se define el producto tensorial de módulos graduados de la forma usual, como en este post anterior. Así, la categoría de k-módulos graduados es una categoría monoidal simétrica, y como es usual, una k-álgebra graduada va a ser un monoide en esta categoría. Explícitamente, una k-álgebra graduada es un k-módulo graduado M con homomorfismos (de grado 0) M\otimes M\to M y K\to M que hacen conmutar los diagramas obvios.

De manera menos abstracta, es un k-módulo graduado M con un objeto distinguido 1\in M_0 y un producto tal que si m\in M, n\in M entonces mn\in M es tal que |mn|=|m|+|n| y es asociativo y unitario.

La cuestión de la conmutatividad:

De un punto de vista categórico, está claro lo que debe querer decir que un álgebra graduada sea conmutativa. Veamos cómo es esto.

Si M, N son dos módulos graduados, entonces hay un isomorfismo \tau: M\otimes N\to N\otimes N, la simetría en la categoría monoidal. Con esta simetría podemos definir qué significa que un álgebra con producto \mu sea conmutativa: simplemente \mu \tau=\mu.

Claro que lo que esto significa concretamente depende de la simetría que elijamos, y los topólogos algebraicos no elegimos la obvia sino que tomamos la que tiene la convención de signos de Koszul, a saber:  \tau está dada por \tau(m\otimes n)= (-1)^{|m||n|}n\otimes m, siguiendo el adagio usual “cuando pases un símbolo al otro lado del tensor, una potencia adecuada de -1 deberá aparecer”.

Así que con estas convenciones y esta definición categórica de conmutatividad, obtenemos que un álgebra graduada A es conmutativa (en el sentido categórico) si es “anticonmutativa” (en el sentido clásico), i.e. ab=(-1)^{|a||b|}ba para todo a,b\in A.

Dos observaciones: en un álgebra graduada conmutativa,

1) se tiene ab=-ba cuando |a| y |b| son impares; en el resto de casos, ab=ba.
2) si |a| es impar, entonces a^2=-a^2 y entonces 2a^2=0. Si la característica del anillo no es dos, entonces esto significa que a^2=0. (Sí, en un álgebra conmutativa en el sentido graduado, el cuadrado de un elemento de grado impar es cero. El contexto graduado es bien diferente…).

Si la característica es dos, resulta relevante la definición de que un álgebra conmutativa lo sea estrictamente si a^2=0 para todo elemento de grado impar. (Y en topología nos interesa trabajar sobre \mathbb{F}_2 a menudo…)

Reitero: a partir de ahora “conmutativo” significa “conmutativo en el sentido categórico usando la simetría de Koszul”, i.e. lo que clásicamente los algebristas llaman “anti-conmutativo”.

El álgebra tensorial: aka: el álgebra graduada libre sobre un módulo graduado.

Sea M un módulo graduado. Definimos el álgebra tensorial sobre M como el álgebra graduada T(M) definida así:

TM= \bigoplus_{q\in \mathbb{N}} T^qM donde T^qM=M^{\otimes q}.

Esta definición es compacta pero esconde cosas complicadas. Para empezar: observar que el índice q -no- es el índice interno de TM. Es decir, T^qM es un módulo graduado, para cada q. En otras palabras, TM en grado n tiene cosas que no vienen solo de T^nM, sino de, en principio, todos los T^qM. Esto es por la naturaleza del producto tensorial de dos módulos graduados. Un elemento m_1\otimes \dots \otimes m_q\in T^qM está en TM en grado \sum |m_i|. Podemos llamar a q el “largo de la palabra” m_1\otimes \dots \otimes m_q.

Podemos, sin embargo, ser más explícitos, y describir directamente lo que es T_nM, desenrollando lo que es el producto tensorial (iterado) de módulos graduados. Esto da:

T_0(M)=K\oplus \bigoplus_{p=1}^{\infty}M_0^{\otimes p}, y si n\geq 1:

T_n(M)=\bigoplus M_{d_1}\otimes \dots \otimes M_{d_q} donde q\geq 1, d_1+\dots+d_q=n.

Espero que así quede claro. Por alguna razón esto fue fuente de bastante confusión para mí.

Falta decir por qué es un álgebra graduada, pero esto es fácil, es sólo “concatenar”. Es decir, el producto de m_1\otimes \dots \otimes m_q con n_1\otimes \dots \otimes n_r es m_1\otimes \dots \otimes m_q\otimes n_1\otimes \dots \otimes n_r.

Observaciones: 

1) Si M está concentrado en grado 1, entonces T(M)=T(M_1), donde a la izquierda significa el álgebra tensorial que acabamos de definir y a la derecha significa el álgebra tensorial sobre un módulo pelado, vista como álgebra graduada externamente.

2) Si M está concentrado en grado 0, entonces T(M) está concentrada en grado 0 también, y T_0(M) es el álgebra exterior de M_0 vista como álgebra graduada internamente.

Propiedad universal: este T define un functor de la categoría de módulos graduados a la categoría de álgebras graduadas, y es el adjunto a izquierda del functor de olvido.

El mapa M\to T(M) está dado de manera obvia, mandando un m a él mismo, en el mismo grado (observar que M_n\subset T_n(M)). Así que todo morfismo de módulos graduados de grado cero M\to A donde A es una álgebra graduada se factoriza a través de este.

Podemos tomar como M a un módulo graduado libre en generadores \{x_i:i\in I\} con grados |x_i|=d_i dados. Explícitamente, M_i consiste del k-módulo libre de base los x_j con |x_j|=i. Notemos T(\{x_i:i\in I\}) al álgebra tensorial asociada.

Primero veamos más explícitamente el caso de T(x), una sola variable.

Si |x|=0, entonces T(x) está concentrada en grado cero, y allí es el álgebra de polinomios K[x] considerada como álgebra no graduada, identificando x^p=x^{\otimes p}.

Si |x|=1, entonces T(x) es el álgebra graduada externamente K[x].

Si |x|=2, entonces es K,0,Kx,0,Kx^2,0,Kx^3,... con producto obvio, o lo que uno podría denotar como “P(x) con |x|=2“, y aquí ya empezamos a acercarnos a lo que comentara en la introducción. Para grados mayores a 2 es análogo.

Observar que solo aquellas que tienen a x en grado par son conmutativas en el sentido graduado.

El caso de varias variables da los “polinomios en variables que no conmutan”. Por ejemplo, si tenemos a x en grado d y a y en grado r, entonces en grado dr vamos a tener xy=x\otimes y pero también yx=y\otimes x, y no hay relación entre estos dos elementos.

Observación final: incito al lector a ir a leer sobre mónadas. La fórmula que describe T es completamente general, y es válida no sólo en el contexto de álgebras sino más generalmente en el de monoides en categorías monoidales simétricas cerradas (esta es la descripción “álgebras sobre la mónada “monoide libre””.

El álgebra graduada conmutativa libre sobre un módulo graduado

Llamemos \Lambda al functor de módulos graduados en álgebras graduadas conmutativas, que es el adjunto a izquierda del functor de olvido. Demos una construcción explícita. De hecho, lo que voy a hacer es describir el adjunto a izquierda del functor de olvido de álgebras graduadas conmutativas en álgebras graduadas. Como la composición de adjuntos es un adjunto, da lo mismo.

Podemos considerar cocientes de álgebras graduadas por ideales. Un submódulo de un módulo graduado es sencillamente una elección de submódulos para cada uno de los grados; podemos hacer cocientes. Luego un ideal de un álgebra graduada es un submódulo que es cerrado por la multiplicación; podemos hacer cocientes.

Sea A un álgebra graduada, y sea C(A) el ideal generado por ab-(-1)^{|a||b|}ba (la C es de “conmutativo”). Entonces el cociente A/C(A) es obviamente conmutativo de la manera más libre posible. Tenemos pues un functor de las álgebras graduadas en las álgebras graduadas conmutativas que es un adjunto a izquierda del functor de olvido.

Ahora podemos hacerle esto al álgebra tensorial. Si M es un módulo graduado, definimos \Lambda(M)=T(M)/C(T(M)). Composición de functores libres es functor libre, así que este functor de los módulos graduados en las álgebras graduadas conmutativas es adjunto a izquierda del functor de olvido.

Esto admite una expresión análoga al álgebra tensorial:

\Lambda M=\bigoplus_{n\in \mathbb{N}} \Lambda^q(V)

y sus elementos son de la forma v_1 \wedge \dots \wedge v_q en grado \sum |v_i|, y satisfacen las relaciones de conmutatividad graduada impuesta.

Se puede describir \Lambda^q(V) de manera más explícita: es T^q(V) módulo el grupo simétrico \Sigma_q. Es decir, mediante la simetría (¡con los símbolos de Koszul!) que tenemos, \Lambda^q(V) es imponerle a V\otimes \dots\otimes V las relaciones \pm v_{\sigma(1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma(q)} = v_1\otimes \dots \otimes v_q para toda permutación \sigma \in \Sigma_q. El símbolo \pm te lo dejo a vos: depende de los grados de los elementos y del signo de la permutación. Este cociente se puede expresar más formalmente como un coigualador. Observación lateral: comentario monádico análogo al que hice al final de la parte no-conmutativa.

¿Qué pasa si tomamos como M un módulo graduado libre en generadores \{x_i:i\in I\}?

Analicemos primero el caso de una sola variable, \Lambda(x).

– Si |x|=d es par, entonces T(x) es conmutativa, luego \Lambda(x)=T(x), el álgebra graduada de polinomios con x en grado d, como describimos en la sección anterior.

– Si |x|=d es impar, entonces T(x) no es conmutativa. Estamos imponiendo la relación 2x^2=0.

Si estamos en característica diferente de 2, esto significa que x^2=0. Por lo tanto \Lambda(x) tiene a K en grado 0, tiene Kx en grado d, y ya está. Es lo que llamamos el álgebra exterior con x en grado d, a veces denotada E(x). Observar que, contrariamente a lo que pasaba con los polinomios en una variable que podíamos encontrarlos concentrados en grado cero, el álgebra exterior aparece necesariamente graduada.

Reformulando el párrafo anterior, lo que está pasando es que si V consiste apenas del módulo libre k{x} en grado 1, entonces los \Lambda^q(V) son todos nulos salvo q=0, q=1: el resto es nulo por los signos de Koszul.

Si estamos en característica 2, entonces no estamos imponiendo ninguna relación, así que \Lambda(x)=T(x) en este caso.

Tomemos un conjunto finito de variables ahora.

Una variable de grado par genera una subálgebra de polinomios graduada. Por ejemplo, si tenemos una x en grado 4, entonces esto genera una subálgebra con x^2 en grado 8, etc.

Para una variable de grado impar y, depende de la característica: en característica distinta de dos, y^2=0. Si la característica es dos, y genera una subálgebra de polinomios graduada.

Para multiplicarlas, bueno, las multiplicamos, forzando conmutatividad. Por ejemplo, en característica no 2, para x en grado 2 e y en grado 3, tenemos un elemento xy en grado 6, un elemento x^2 en grado 4, un elemento x^2y en grado 12, etc. Si tenemos un elemento z de grado 5, entonces tenemos yz=-zy en grado 15.

Observar sin embargo que, por ejemplo, la expresión x+x^2 no tiene sentido en este contexto: hace un rato dijimos “sólo consideramos elementos homogéneos”. Siendo más claros, la expresión no tiene sentido porque hay una suma + definida en cada grado, pero x y x^2 están en grados diferentes (a menos que |x|=0, en cuyo caso la expresión sí tiene sentido), así que no tiene sentido sumarlos.

Resulta razonable introducir la siguiente notación. Si M está concentrado en grados pares, entonces \Lambda(M)=:P(M). Si M está concentrado en grados impares, entonces \Lambda(M)=:E(M).

Si M es un módulo graduado cualquiera, denotemos M=M_{par}\oplus M_{impar}, donde el primer sumando recoge los módulos de M en grados pares y pone cero en los impares, y el otro hace al revés. Entonces el análisis precedente muestra que, si la característica no es dos,

\Lambda(M)=P(M_{par}) \oplus E(M_{impar}).

Si la característica es dos, la notación E no vale nada, \Lambda(M) es sencillamente polinomial en todas sus variables.

El álgebra estrictamente conmutativa libre

En característica dos, el “álgebra conmutativa libre” no nos da álgebras exteriores. Debemos considerar el “álgebra estrictamente conmutativa libre”.

Sea A un álgebra graduada y sea D(A) el ideal generado por los elementos de las formas ab-(-1)^{|a||b|}ba y c^2, donde a,b,c\in A y c tiene grado impar. Entonces A/D(A) es un álgebra estrictamente conmutativa. De manera equivalente, podríamos definirla como el cociente de A/C(A) por el ideal de las clases a^2. Satisface una propiedad universal obvia: define un functor de las álgebras graduadas en las álgebras graduadas estrictamente conmutativas que es el adjunto a izquierda del functor de olvido.

Si M es un módulo graduado, definimos \Xi(M)=T(M)/D(M); es un cociente del álgebra simétrica por la relación m^2=0 para todo m\in S(M) de grado impar. (la notación \Xi es mía; honestamente, no sé de cuánta utilidad es esta noción, pero ahí queda).

Esto define \Xi como un functor de los módulos graduados en las álgebras graduadas estrictamente conmutativas, que es el adjunto a izquierda del functor de olvido.

Los functores \Lambda  y \Xi coinciden si la característica no es dos. Si la característica es dos, coinciden sobre módulos concentrados en grados pares.

Así, si |x|=1, entonces \Xi(x) es el álgebra exterior clásica como álgebra graduada externamente siempre, incluso en el caso de característica dos. No me resulta muy satisfactorio que si |x|=0 no obtengas el álgebra exterior no graduada clásica concentrada en grado 0 sino un álgebra de polinomios.

Volviendo al ejemplo inicial: la cohomología con coeficientes enteros de una esfera, ¿qué notación merece? Si la esfera es de grado impar d, entonces con nuestra notación es E(x) con |x|=d. Si es de grado par… no merece ninguna notación especial, porque no es ni un álgebra graduada libre en una variable (i.e. un álgebra de polinomios) ni un álgebra graduada conmutativa libre en una variable (ídem). Es decir, para grado par, yo la notaría sencillamente como P(x)/(x^2).

Fuentes: Mac Lane, Homology fue la fuente principal. También miré la observación 7.18 del artículo de Milnor y Moore, y la parte de álgebras de Hopf del “More Concise Algebraic Topology” de May & Ponto. (Edito: El Warning 0.0.6 de May & Ponto “More concise algebraic topology” está bueno) (Edito 2: Felix-Halperin-Thomas, y también un apéndice del libro de álgebra conmutativa de Eisenbud).

Este libro de Mac Lane es uno de esos “clásicos un poco vetustos que uno intenta evitar pero a veces tienen temas que parecen completamente ausentes en los libros de texto modernos y de los que uno precisa a veces”, categoría en la que también entra el libro de Cartan & Eilenberg.

Una complicación adicional con la que me he topado es que el propio K puede ser un anillo graduado, en cuyo caso estas álgebras son bigraduadas, creo yo.

Otra cosa: uno bien puede querer considerar álgebras de polinomios con indeterminadas en grados impares. Esto se puede hacer: son las álgebras graduadas conmutativas libres, si en vez de tomar la simetría de Koszul tomamos la simetría sin signos. Aparentemente esto no aparece en topología algebraica, mejor, menos quilombo.

Para la próxima (si jamás llega): estructuras de álgebras de Hopf graduadas sobre estos bichos, y el álgebra de potencias divididas, que es el dual del álgebra simétrica.

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