K-teoría topológica y periodicidad de Bott

Este post tiene como prerrequisito un poco de teoría de fibrados, sobre la cual si me da la paciencia igual escribo algo más tarde.

Recordemos lo que nos dan los espacios clasificantes: si G es un grupo topológico, entonces existe un G-fibrado principal EG\to BG donde EG es un espacio contráctil, tal que hay una biyección

[X,BG]\cong {clases de isomorfismo de G-fibrados principales sobre X}

dada por f\mapsto f^*(EG) (pullback), para cada X paracompacto.

Uno podría querer estudiar X a partir de sus G-fibrados principales, lo cual viene a ser estudiar las clases de homotopía de mapas X\to BG. Pero hay poca estructura en la vuelta. Lo de arriba es una biyección entre conjuntos. ¿No podremos tener algo más calculable, siendo menos generales a la vez que más groseros?

Sí. Recordemos que un GL_n(F)-fibrado principal viene a dar lo mismo que un fibrado vectorial de rango n. La cosa es que uno puede sumar dos fibrados vectoriales de rango distinto (o incluso sin rango bien definido, por ejemplo si estamos sobre una base no conexa) y seguir obteniendo un fibrado vectorial. Esta es la “suma de Whitney” que en las fibras no es otra cosa que la suma directa de los espacios vectoriales en cuestión.

Ahora queremos ser un poco más groseros e identificar más fibrados que apenas aquellos que son isomorfos.

A partir de ahora, fibrado = fibrado vectorial, y Vect_F(X) es el conjunto de clases de isomorfismo de F-fibrados sobre X (F= \mathbb{R}, \mathbb{C} o \mathbb{H}).

Definición: Dados dos fibrados vectoriales E,E' sobre X, decimos que son establemente equivalentes si existen fibrados triviales I_n, I_m tales que E\oplus I_n\cong E' \oplus I_m.

Esto define una relación de equivalencia compatible con la suma de Whitney.

Definición: \tilde{K}_F^0(X)= clases de equivalencia estable de fibrados sobre X.

Proposición: Esto es un grupo abeliano si X es compacto y Hausdorff. Por ejemplo, si es un complejo CW finito. Lo cual voy a suponer a partir de ahora.

Lo único no trivial es que hay inversos, lo cual viene a ser que a todo fibrado le podés sumar uno de manera que te dé trivial. Esto se puede hacer, hay que probarlo.

Bárbaro, ya tenemos nuestro primer grupo de K-teoría, al menos para un complejo finito.

Otra cosa que podríamos haber hecho es la siguiente: en vez de tomar clases de equivalencia estable y ver que obtenemos un grupo, forzar un grupo, i.e. añadir inversas a lo bestia de manera a introducir sólo eso como relaciones, i.e. formar el grupo de Grothendieck. La cosa es que da lo mismo, casi:

Definición: X finito. El grupo de Grothendieck del monoide conmutativo (Vect_F(X),\oplus) se denota K_F^0(X). Esto define un functor contravariante de los CW finitos en los grupos abelianos.

Observar que (Vect_F(*),\oplus) \cong (\mathbb N,+) a través del rango, luego K_F^0(*)=\mathbb Z.

Proposición: Sea (X,x_o) un CW finito punteado. Entonces

\tilde{K}_F^0(X) \cong \ker ( i^*: K_F^0(X) \to K^0(x_0))

donde i:\{x_0\}\to X es la inclusión. Además tenemos un splitting inducido por X\to \{x_0\}, luego

\tilde{K}_F^0(X)\oplus \mathbb Z \cong K_F^0(X),

análogo a lo que pasa con la cohomología reducida.

Ejemplo: Antes de seguir, un ejemplo de un fibrado que es establemente trivial pero no es trivial. El fibrado tangente de S^2\subset \mathbb{R}^3 no es trivial, esto es el teorema de la bola peluda. El fibrado normal sí es trivial, como se observa muy fácilmente. Y si sumamos los dos fibrados obtenemos el fibrado trivial de rango 3.

Bueno, vamos ahora a responder a la pregunta: es este functor representable, y en caso afirmativo, por qué espacio? Es decir, buscamos un espacio \kappa tal que \tilde{K}_F^0(X)=[X,\kappa], ídem sin el tilde. Recordemos que en la cohomología singular esto nos lo dan los espacios de Eilenberg-Mac Lane.

Volvamos a los espacios clasificantes para un poco de motivación. Primero que nada, recordar que O(n) es un retracto por deformación de GL_n(\mathbb R), de manera que todo fibrado vectorial se puede reducir a un O(n)-fibrado principal. Las clases de equivalencia de los fibrados vectoriales reales de rango n están pues en biyección con [X,BO(n)]. Esto va a hacer menos sorprendente el siguiente

Teorema: En los complejos CW finitos, K_F^0 es representable por:

BO \times \mathbb Z si F=\mathbb R,
BU \times \mathbb Z si F=\mathbb C,
BSp \times \mathbb Z si F=\mathbb H,

donde O=\bigcup O(n), y análogamente para los otros dos, donde U indica el grupo unitario y Sp indica el grupo simpléctico.

Si ponemos los tildes sobre las K, “representable” debe entenderse como: consideramos los complejos CW finitos punteados, y clases de homotopía punteadas.

Así, por ejemplo, \tilde{K}_{\mathbb{R}}^0=:\tilde{KO}^0(X)=[X,BO\times \mathbb Z]_* para un espacio punteado X. De la misma forma, KU denotará K_{\mathbb{C}}.

Las zetas esas aparecen, moralmente, por la introducción de los “fibrados virtuales”, o sea, los de “rango negativo”, que se vislumbran claramente en la construcción de Grothendieck.

Ahora nos preguntamos qué pinta el cerito ese ahí arriba. Queremos extender esto a una teoría de cohomología extraordinaria. Recordemos que una teoría de cohomología es estable, en el sentido que se porta bien respecto de suspensiones. Así que partiendo de este hecho y con una teoría de cohomología en mira, podemos definir los grupos de K-teoría negativos:

Definición: Sea n\geq 0. Definimos \tilde{K}_F^{-n}(X)=\tilde{K}_F^0(\Sigma^n X), en los complejos CW finitos.

¿Y cómo hacemos con los positivos? Pensando en el espacio que representa la K-teoría, vamos a tener que deslacearlo (delazarlo, deslazarlo, verlo como espacio de lazos de alguien, deloopearlo). En efecto, recordemos que tener una teoría de cohomología generalizada es lo mismo que tener un \Omega-espectro, y tener un \Omega-espectro es lo mismo que tener un espacio de lazos infinito. Vamos a tener que deslazar infinitamente nuestro BU\times \mathbb Z (o BO, o BSp).

Aquí es donde aparece un teorema muy importante en topología algebraica, uno de esos que tiene mil pruebas diferentes, todas esencialmente distintas:

Teorema (periodicidad de Bott):

\mathbb{Z}\times BU \simeq \Omega^2 BU
\mathbb{Z}\times BO \simeq \Omega^4 BSp
\mathbb{Z}\times BSp \simeq \Omega^4 BO.

En particular, \mathbb{Z}\times BO \simeq \Omega^8 BO.

Esto ya nos permite definir \Omega-espectros de K-teoría: definimos KU_n como BU\times \mathbb Z si n es par y como \Omega(BU\times \mathbb Z)=\Omega BU si n es impar (esa igualdad es sólo el hecho de que un lazo no puede cambiar de componente conexa).

Observar que estamos usando la periodicidad de Bott en esa definición. En efecto, la equivalencia débil KU_0 \to \Omega KU_1 está dada por:

BU\times \mathbb Z \stackrel{\simeq}{\to} \Omega^2(BU)=\Omega(KU_1)

y análogamente desde un KU par a un KU impar.

Para KO es lo mismo: KO_n es por definición BO\times \mathbb Z si n\equiv 0 (8), es \Omega^7BO\times \mathbb Z si n\equiv 1 (8), es \Omega^6(BO\times \mathbb Z) si n \equiv 2 (8), etc. La única equivalencia débil no obvia es la primera, i.e. la que va de un KO_n con n\equiv 0 (8) a \Omega KO_{n+1}, que es la dada por la periodicidad de Bott:

KO_0=BO\times \mathbb Z \stackrel{\simeq}{\to} \Omega^8 BO=\Omega(\Omega^7(BO))=\Omega(KO_1).

Tenemos definidas teorías de cohomología KO, KU (en los CW finitos). De acá sacamos directamente las propiedades axiomáticas, como la sucesión exacta larga.

Observar que e.g. para KU, toda la información está en KU_0 y en KU_1.

Queremos calcular sus coeficientes. No es difícil en vista de la periodicidad de Bott: nos vemos llevados a calcular grupos de homotopía de grupos ortogonales, unitarios o simplécticos en dimensiones bajas, donde hay isomorfismos excepcionales.

Recordemos que los coeficientes de una teoría de cohomología reducida son sus valores en la esfera S^0. La periodicidad de Bott hace que en este caso, por la adjunción suspensión-lazos, sea lo mismo que calcular K^0 en las esferas S^n. En efecto, por ejemplo para KU:

\tilde{KU}^1(S^0)=[S^0,\Omega(BU\times \mathbb Z)]=[S^1,BU\times \mathbb Z]=\tilde{KU}^0(S^1).

Y estos K(S^n) vienen a ser los grupos de homotopía de nuestros BU\times \mathbb Z, BO\times \mathbb Z, BSp\times \mathbb Z.

Como la zeta esa no afecta en los \pi_n para n\geq 1, en particular obtenemos que los grupos de homotopía de BU son 2-periódicos, y los de BO son 8-periódicos. Los de BSp son como los de BO pero shifteados de dimensión en 4. Switzer pone una tablita linda:

Captura de pantalla 2015-03-02 a la(s) 18.32.14

Una vez que tenemos esta periodicidad, calcular los valores explícitamente es fácil, porque estamos en dimensiones bajas (0,1,2,3). Obtenemos (Switzer de nuevo, gracias):

Captura de pantalla 2015-03-02 a la(s) 19.20.53

que viene a ser otra formulación de la periodicidad de Bott (mirando sólo los grupos de homotopía, lo cual es un poco más sloppy).

Un ejemplo para ilustrar todo lo que acabo de decir (que es medio masa, lo sé, especialmente porque estoy siendo desprolijo con los tildes y con los puntos base):

KU^1(S^0)=[S^0,U]=[S^0,U(1)]=\pi_0(U(1))=\pi_0(S^1)=0.

¿Por qué aparece ese U(1)? (La penúltima igualdad se debe a que U(1)\cong S^1, uno de los isomorfismos excepcionales ya mencionados).

Grupos de homotopía de O, U.

Calcular los coeficientes de KO, KU es lo mismo que calcular los grupos de homotopía de O,U. En efecto, por ejemplo para KO, si i\geq 1 entonces:

\tilde{KO}^i(S^0)=\tilde{KO}^0(S^i)=\pi_i(BO\times \mathbb Z)=\pi_i(BO)=\pi_{i-1}(\Omega BO)=\pi_{i-1}(O).

La última igualdad se debe a la siguiente observación: dado un grupo topológico G: como EG es contráctil entonces de la fibración G\to EG\to BG obtenemos G\simeq \Omega BG. En particular, O\simeq \Omega BO.

Ahora bien, tenemos un fenómeno de estabilidad en los grupos de homotopía de O, U. Recordar que tenemos fibrados

O(n-1)\to O(n)\to S^{n-1}
U(n-1)\to U(n)\to S^{2n-1}

donde las proyecciones están dadas por evaluar en un vector unitario fijo. Mirando las sucesiones exactas largas de homotopía, obtenemos:

\pi_i(O(n-1))=\pi_i(O(n)) si n\geq i+3,
\pi_i(U(n-1))=\pi_i(U(n)) si 2n\geq i+3.

En particular, \pi_i(O)=\pi_i(O(n)), \pi_i(U)=\pi_i(U(n)) para n suficientemente grande.

Esto explica por qué \pi_0(U)=\pi_0(U(1)) arriba. Explica también la siguiente tablita que da Hatcher: para n suficientemente grande, se tiene:

Captura de pantalla 2015-03-04 a la(s) 10.28.53

Observar el pequeño shift de dimensiones que hay con respecto a la otra tablita de arriba, esto es por el shift que aparece en \tilde{KO}^0(S^i)=\pi_{i-1}(O(n)) (n suf. grande).

Esta es, pues, otra formulación de la periodicidad de Bott (mirando los grupos de homotopía), una que no precisa de K-teoría para ser enunciada (pero que tomada por sí sola carece de motivación, me parece: ¿por qué serían tan interesantes los grupos ortogonales, unitarios, simplécticos?)

Bueno, suficiente por hoy: hemos definido la K-teoría topológica y hemos calculado sus coeficientes.

Ah, una palabra sobre los CW no finitos: extendemos la teoría tontamente usando la representabilidad.

Otra cosa: ahora que tenemos que la K-teoría es una teoría de cohomología generalizada y tenemos calculados sus coeficientes, podemos intentar calcular la K-teoría de cualquier espacio utilizando su cohomología singular gracias a la sucesión espectral de Atiyah-Hirzebruch.

Una última observación: observar que también podríamos considerar la homología que definen los espectros KO, KU. Qué es lo que da, no sé, pero la vi usada en una charla, pregunté si tenía alguna interpretación geométrica, y alguien por ahí tiró “dualidad de Spanier-Whitehead” (o de Alexander, ya no me acuerdo).

Edito por enésima vez para agregar: la K-teoría es una teoría de cohomología con productos. Mejor dicho, el espectro KU es un espectro en anillos (un “ring spectrum”), y de hecho, \pi_*(KU)=\mathbb{Z}[u,u^{-1}] con |u|=2 como anillos graduados. El espectro KO también es un espectro en anillos y también se puede dar una expresión para su anillo graduado de coeficientes, es más complicada.

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2 respuestas a K-teoría topológica y periodicidad de Bott

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