Dos palabras sobre el invariante de Hopf

Cansado de encontrarme una y otra vez con la expresión “invariante de Hopf 1”, decidí llenar el bache. Resultó ser más fácil de entender de lo que esperaba.

La motivación es la de siempre: determinar los grupos de homotopía de las esferas. El de Hopf es un invariante para ciertos grupos de homotopía en dimensiones particulares.

El grado de un mapa S^n\to S^n clasifica estos mapas a menos de homotopía: i.e. \pi_n: \pi_n(S^n)=[S^n,S^n]\to \hom(\pi_n(S^n),\pi_n(S^n)) también conocido como deg:H_n(S^n)\to \mathbb Z, es un isomorfismo.

Bien sabemos que poder encontrar un invariante para mapas entre dos espacios que los clasifique completamente es algo que ocurre rara vez. Vamos a construir un invariante que si bien no clasifica completamente, por lo menos es un invariante homotópico, y vamos a comentar las aplicaciones clásicas.

Fijemos n>1 y sea m>n. Sea f:S^m\to S^n. Podemos formar el cono Cf de este mapa, i.e. podemos pegar un D^{m+1} a S^n por el borde, a través de f.

La homología celular da que Cf=S^n\cup_f D^{m+1} tiene \mathbb Z en dimensiones 0,n,m+1 y cero en el resto. Ídem para la cohomología. Pero qué pasa con el producto cup?

Llamale \alpha al generador de H^n(Cf) y \beta al de H^{m+1}(Cf). Los tres productos cup que involucran a estos elementos son nulos siempre… a menos que m+1=2n, en cuyo caso hay chance de que \alpha \cup \alpha \in H^{2n}(Cf)=\mathbb Z \beta sea no nulo.

Así que supongamos que m=2n-1, y definimos el invariante de Hopf de f como el número entero H(f) que satisface

\alpha \cup \alpha=H(f)\beta.

Esto está bien definido a menos de signo, a priori, según cómo hayamos elegido el \beta. Pero hay una manera canónica de elegir uno a partir de f.

Ejemplo: Sea f:S^3\to S^2=\mathbb{C}P^1 el mapa cociente complejo, también conocido como el famoso mapa de Hopf \eta, de manera que Cf=\mathbb{C}P^2. Se tiene que H^*(\mathbb{C}P^2)=\mathbb{Z}[x]/(x^3) con |x|=2 (cálculo que se puede hacer con la sucesión espectral de Serre). Por lo tanto en este caso \alpha\cup \alpha=\beta, i.e. H(f)=1.

Propiedad básica: H(f) sólo depende de la clase de homotopía de f, así que define una aplicación H:\pi_{2n-1}(S^n)\to \mathbb Z. Esta aplicación es un homomorfismo de grupos.

Teorema (Adams): Existe un mapa f:S^{2n-1}\to S^n de invariante de Hopf 1 si y sólo si n=2,4,8.

Arriba construimos el de n=2. Los de 4 y 8 son análogos, construidos usando \mathbb{H}P^2 y \mathbb{O}P^2. Resulta que son los únicos…

Consecuencias: hay consecuencias potentes de esto, de esas que uno oye comentar a lo largo de su formación:

\mathbb{R}^n es un álgebra real con división solo cuando n=1,2,4,8 (comparar con el cálculo del grupo de Brauer de \mathbb{R}.

S^n es un H-espacio sólo para n=0,1,3,7

S^n es paralelizable solo para n=0,1,3,7, i.e. S^n tiene fibrado tangente trivial solo para esos números, i.e. S^n tiene n campos de vectores linealmente independientes en cada punto solo para esos números.

– los únicos fibrados S^p\to S^q\to S^r son los cuatro que dan las fibraciones de Hopf clásicas.

Hace cuatro años comenté como curiosidad, sin entender casi nada (nada ha cambiado  ahora entiendo mucho más), medio que lo mismo que estas consecuencias.

Fuente: el libro de Hatcher, sección 4.B.

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