De (co)homologías y homotopías de suspensiones y espacios de lazos

A un espacio X le podemos asociar su espacio de lazos \Omega X o su suspensión (no reducida) \Sigma X. Estas dos construcciones son functoriales y conforman un par adjunto (\Sigma, \Omega).

¿Qué podemos decir sobre la homotopía (estable) y la (co)homología (singular) de \Sigma X, \Omega X?

Homotopía:

Lazos: De la adjunción de arriba y del hecho que \Sigma S^n\cong S^{n+1}, obtenemos que \pi_i(\Omega X)=\pi_{i+1}(X): la construcción del espacio de lazos shiftea los grupos de homotopía.

Suspensión: De los grupos de homotopía de una suspensión, no hay mucha cosa general para decir, pero véase el teorema de suspensión de Freudenthal.

Homotopía estable:

Lazos: ídem, i.e. si E es un espectro entonces \pi_n(\Omega E)=\pi_{n+1}(E).

Suspensión: Por construcción, si E es un espectro, entonces \pi_{n+1}(\Sigma E)=\pi_n(E). Observar que esto es coherente con el ítem anterior y con el hecho de que en esta categoría, el functor \Sigma no es solo un adjunto a izquierda sino un automorfismo de la categoría.

En particular, si X es un espacio, entonces \pi_{n+1}^s(\Sigma X)=\pi_n^s(X).

Homología:

Lazos: Con algo de suerte podrás aplicar la sucesión espectral de Serre homológica a la fibración \Omega X\to *\to X y haciendo un cálculo backwards sacar algo de la homología de \Omega X a partir de la de X. Por ejemplo, para calcular la homología de los espacios de lazos de las esferas, sirve.

Suspensión: \tilde{H}_{i+1}(\Sigma X)=\tilde{H}_i(X). Para ver esto, observar que (CX,X) es un buen par, i.e. X está contenido en un abierto de CX del cual es un retracto por deformación. Además, CX es contráctil y CX/X=\Sigma X. La sucesión exacta larga de homología da el resultado.

Este resultado dice que la homología singular es una teoría estable.

De hecho, se puede probar que cualquier teoría de homología es una teoría estable: se sigue de los axiomas de Eilenberg-Steenrod.

Cohomología: como la homología, mutatis mutandis.

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3 respuestas a De (co)homologías y homotopías de suspensiones y espacios de lazos

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