Primeros cálculos de grupos de homotopía de esferas

Se me ocurrió que podía estar bueno hacer un repaso sobre los primeros cálculos de los grupos de homotopía de las esferas. Estaría bueno listar más pruebas, si quieren pueden contribuir en los comentarios.

  • S^0: su \pi_0 es un conjunto con dos elementos. Los grupos superiores son claramente nulos, pues todo mapa se homotopea a uno constante. Así que a partir de ahora suponemos n \geq 1.
  • El círculo S^1: su \pi_0 es nulo pues el círculo es conexo.

Su \pi_1 es \mathbb Z. Esto se puede ver clásicamente con la noción de “número de vueltas” de un lazo en el círculo. También se puede ver usando la teoría de cubrimientos. Tenemos el cubrimiento universal \mathbb R \to S^1, y se calcula fácilmente que su grupo de automorfismos es \mathbb Z, dado por las traslaciones enteras de \mathbb R. Como el grupo fundamental de la base es isomorfo al grupo de automorfismos del cubrimiento universal, ya está.

Sus grupos de homotopía superiores son nulos, pues un cubrimiento induce isomorfismos en la homotopía en grados mayores o iguales a dos, y \mathbb R es contráctil.

  • Generalidades:

1. \pi_n(S^n)=\mathbb Z.

Primera prueba: Primero, consideremos la fibración de Hopf S^1\to S^3 \to S^2. Su sucesión exacta de homotopía da que \pi_2(S^2)=\pi_1(S^1)=\mathbb Z.

Ahora basta usar Freudenthal: si n\geq 2, se tiene

\pi_0^s=\pi_2(S^2)=\pi_n(S^n) si n\geq 2 y esto es \mathbb Z. Incidentalmente, esto nos da el 0-grupo de homotopía estable:

\pi_0^s=\mathbb Z.

Segunda prueba: Usando el ítem que viene, S^n es (n-1)-conexo, así que el resultado se deduce de Hurewicz, ya que H_n(S^n)=\mathbb Z.

2. \pi_i(S^n)=0 si i<n.

Primera prueba: En efecto, consideremos S^{n-i}. Es 0-conexo. Usando Freudenthal obtenemos

0=\pi_0(S^{n-i})\stackrel{\cong}{\to} \pi_1(S^{n-i+1})

luego S^{n-i+1} es 1-conexo. Usando Freudenthal de nuevo obtenemos

\pi_1(S^{n-i+1})\stackrel{\cong}{\to} \pi_2(S^{n-i+2})

etc., inductivamente obtenemos una cadena de isomorfismos que termina en \pi_i(S^n).

Segunda prueba: Le damos a S^n y a S^i las estructuras CW con una celda en dimensión cero y una celda en dimensión n e i respectivamente. Entonces por el teorema de aproximación celular, todo mapa S^i\to S^n que deja fijo el punto base se puede homotopear, fijando el punto base, a un mapa celular. En particular este mapa tiene imagen incluida en el i-esqueleto de S^n, que es su punto base. (Hatcher, corolario 4.9).

Tercera prueba (para un caso particular): Me acordé de una prueba que vi hace tiempo en el libro de Lee, Introduction to Topological Manifolds. Sólo sirve para grupos fundamentales, i.e. para probar que \pi_1(S^n)=0 si n \geq 2, pero es linda, por lo elemental. La idea es primero probar que cualquier lazo en S^n con n\geq 2 se puede homotopear a un lazo que no pase por un punto dado (que no sea el punto base). Esto vale más en general sobre cualquier variedad de dimensión 2. Después como S^n menos un punto es \mathbb{R}^n que es contráctil, ya está. Para probar lo primero se usa apenas topología general. Ver página 195 del susodicho libro. También se puede probar usando topología diferencial: todo mapa continuo entre variedades es homotópico a uno diferenciable, y por el teorema de Sard un tal mapa tiene imagen con medida cero.

Cuarta prueba: Usar el teorema de Hurewicz.

3. \pi_i(S^n) es un grupo finitamente generado para todo i,n. Esto se sigue del hecho que la homología es finitamente generada, y del teorema de las clases de Serre, pues la clase de los grupos abelianos finitamente generados es de Serre. (corolario 10.9 Davis & Kirk).

4. \pi_m(S^n) es finito si n es impar y m \neq n. Esta prueba no la leí en detalle, se trata de considerar una sección de Postnikov S^n\to K(\mathbb Z,n) y utilizar el cálculo de la cohomología racional de los espacios de Eilenberg-Mac Lane, que se calcula con la sucesión espectral de Serre. Después hay que aplicar la teoría de clases de Serre un poco más fina. (teorema 10.10 Davis & Kirk)

En consecuencia, los grupos de homotopía estables \pi_n^s son finitos para todo n>0 (Freudenthal).

Hay más resultados en la sección 10.2 de Davis & Kirk. Por ejemplo, al final de ésta se demuestra que \pi_2^s=\pi_6(S^4)=\mathbb Z/2.

Edito para agregar el resultado más preciso: los grupos de homotopía de las esferas son finitos, salvo los \pi_{4m-1}(S^{2m}), que tienen un sumando libre de rango 1. Pero estos no aparecen en el rango estable: están exactamente un rango atrás del rango estable. Es por ejemplo lo que pasa con \pi_3(S^2)=\mathbb{Z}. Este es un teorema de Serre de 1953.

  • \pi_3(S^2)=\mathbb Z. Considerar otra vez la sucesión exacta larga de homotopía de la fibración de Hopf S^1\to S^3\to S^2 junto con el hecho de que \pi_i(S^1)=0 si i>1 y que \pi_3(S^3)=\mathbb Z.

K(\mathbb Z,2)\to X\to S^3.

Pero el X es la 4-sección de Whitehead de S^3, i.e. tiene grupos de homotopía nulos hasta el tercero inclusive, y después son los de S^3.

Ahora, por el teorema de Hurewicz, H_4(X)=\pi_4(X)=\pi_4(S^3). Así hemos traducido un problema en homotopía a un problema en homología, aprovechando Hurewicz y las secciones de Postnikov para matar el \pi_3(S^3).

Aplicamos la sucesión espectral de Serre cohomológica, porque sacamos jugo de la estructura dada por el producto cup. Haciendo cuentas con ella (no las voy a hacer acá, quizás en algún post siguiente dedicado a sucesiones espectrales) obtenemos H^5(X)=\mathbb Z/2. Los teoremas de coeficientes universales y el teorema de las clases de Serre (el que dice que los grupos de homotopía de un espacio son finitamente generados si y sólo si sus grupos de homología son finitamente generados) permiten ver, luego de un par de cálculos de álgebra homológica, que H^5(X)=H_4(X), terminando la prueba.

En particular, por Freudenthal tenemos

\pi_1^s=\pi_{n+1}(S^n)=\pi_4(S^3)= \mathbb Z/2 si n \geq 3.

Incidentalmente, obtenemos el 1-grupo de homotopía estable:

\pi_1^s=\mathbb Z/2.

Además, el propio teorema de Freudenthal nos dice que el elemento no nulo de este grupo está dado por \Sigma \eta, la suspensión de \eta:S^3\to S^2 la fibración de Hopf.

Creo que no me olvido de ninguno de los que sé calcular.

Anuncios
Esta entrada fue publicada en topología. Guarda el enlace permanente.

Una respuesta a Primeros cálculos de grupos de homotopía de esferas

  1. Pingback: Los grupos de homotopía estable de las esferas, la teoría cromática y las familias griegas | blocdemat

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s