El teorema de suspensión de Freudenthal

Este es un teorema básico de teoría de la homotopía. Permite hacer varios cálculos de grupos de homotopía, que haremos en un post ulterior. Y es el punto de partida de la teoría de la homotopía estable, lo cual explicaré aquí.

A partir de ahora los espacios son complejos CW punteados.

Recordemos lo que es la suspensión (reducida) de un espacio X: es el cociente de X\times I por (X\times \partial I) \cup (\star \times I) donde \star es el punto de X e I es el intervalo unidad.

Un mapa f:X\to Y induce un mapa \Sigma f:\Sigma X\to \Sigma Y, de manera compatible con homotopías: una homotopía f\simeq g induce una homotopía \Sigma f\simeq \Sigma g. En particular tenemos un mapa \Sigma: [X,Y]\to [\Sigma X,\Sigma Y], donde los paréntesis rectos indican clases de homotopía de mapas (punteados). Tenemos pues un endofunctor \Sigma de la categoría homotópica de los espacios.

Recordemos también, antes de pasar al teorema, que \Sigma S^n\cong S^{n+1} para todo $n\geq 0$.

Para enunciar el teorema: observemos primero que tenemos un mapa \Sigma:\pi_n(Y)\to \pi_{n+1}(\Sigma Y) que resulta de tomar X=S^n arriba. A partir de ahora no le pondremos nombre a estos mapas, sobreentendiendo cuáles son.

Teorema (de suspensión de Freudenthal): Sea Y un espacio n-conexo (i.e. \pi_i(Y)=0 para i=0,\dots,n). Entonces el mapa

\pi_i(Y)\to \pi_{i+1}(\Sigma Y)

es un isomorfismo si i=0,\dots,2n y es sobreyectivo si i=2n+1. \square

Una prueba se puede obtener a partir del teorema de Blakers-Massey, también conocido como “teorema de excisión para la homotopía”. Si mal no recuerdo está expuesto de manera elemental en el libro de tom Dieck. Está en el Hatcher también.

Teorema (una generalización): Sean X,Y espacios con Y n-conexo. Entonces el mapa

[X,Y]\to [\Sigma X,\Sigma Y]

es biyectivo si dim X\leq 2n y es sobreyectivo si dim X=2n+1. \square

Este teorema (el clásico) es el punto de partida de la teoría de la homotopía estable, como dije arriba:

Definición: El k-ésimo grupo de homotopía estable de un espacio Y es

\pi_k^s Y:=colim_\ell \pi_{k+\ell}(\Sigma^\ell Y).

Explícitamente, estamos tomando el colímite de este sistema:

\pi_k Y \to \pi_{k+1}(\Sigma Y) \to \pi_{k+2}(\Sigma^2 Y)\to \dots (1)

Si tomamos Y=S^0, obtenemos los grupos de homotopía estable de las esferas:

\pi_k^s:=\pi_k^sS^0.

Por ejemplo, \pi_1^s=colim \pi_{\ell+1}(S^\ell).

El teorema de Freudenthal nos dice que ese colímite se estabiliza (ver corolario siguiente), y nos dice a partir de cuándo. Es por ello que es de fundamental importancia en el cálculo de estos grupos de homotopía estable. Que, a todo esto, ¿por qué nos interesan? Porque los grupos “inestables” son muy difíciles de calcular. De los grupos estables se puede sacar jugo, y hay a disposición otras técnicas.

Corolario: Si Y es 0-conexo, entonces \pi_k^s Y=\pi_{2k}(\Sigma^k Y)=\pi_{2k+\ell}(\Sigma^{k+\ell} Y) para todo \ell \geq 0.

En particular, \pi_k^s=\pi_{2k+2}(S^{k+2})=\pi_{2k+2+\ell}(S^{k+2+\ell}) para todo \ell\geq 0.

Demostración: Queremos calcular el colímite de (1). Como Y es 0-conexo, entonces \Sigma^k Y es k-conexo. En efecto, si un espacio es n-conexo, su suspensión es (n+1)-conexa. Esto resulta mirando la definición para el 0-ésimo grupo de homotopía, y usando Freudenthal para el resto.

Ahora miremos (1) un poco más lejos. Pinta así:

\pi_{2k}(\Sigma^k Y)\to \pi_{2k+1}(\Sigma^{k+1} Y)\to \pi_{2k+2}(\Sigma^{k+2} Y)\to \dots

Son isomorfismos esos mapas. En efecto, el primero lo es por Freudenthal aplicado a \Sigma^k Y, el segundo por Freudenthal aplicado a \Sigma^{k+1}Y, etc. Así se obtiene el resultado.

Deduzcamos el resultado para las esferas. S^0 no es 0-conexo, pero su suspensión S^1 sí. Apliquemos el resultado obtenido a Y=S^1; obtenemos \pi_k^s S^1=\pi_{2k}(S^{k+1})=\pi_{2k+\ell}(S^{k+1+\ell}) para \ell\geq 0. Este grupo es el colímite de este sistema:

\pi_k(S^1)\to \pi_{k+1}(S^2)\to \dots.

Pero fijate que al comienzo podés poner la flecha \pi_{k-1}(S^0)\to \pi_k(S^1), de manera que obtenés el sistema que te da el \pi_{k-1}^s. Obtenemos pues \pi_{k-1}^S=\pi_{2k}(S^{k+1})=\pi_{2k+\ell}(S^{k+1+\ell}), es decir, lo que queríamos probar.

Corolario (generalización): [\Sigma^k X,\Sigma^k Y]= [\Sigma^{k+1}X,\Sigma^{k+1} Y] para k\geq dim X+2.

Edit (25/03/2015): Encontré que Switzer demuestra Freudenthal como corolario de un teorema sobre cocientes, que es interesante en general. En homología tenemos que con hipótesis razonables, e.g. en complejos CW, la homología relativa del par (X,A) es la homología reducida del cociente X/A. Esto es falso para la homotopía. Y la razón para esta falsedad es la misma que la razón por la que la homotopía no es una teoría estable, i.e. la homotopía de una suspensión no es la homotopía shifteada de grado (cf. este post ulterior). Más formalmente, Freudenthal se sigue del siguiente

Teorema: Sea (X,A) un par CW punteado, con A m-conexo y (X,A) n-conexo, con n\geq 1. Entonces si p es el mapa cociente, induce p_*:\pi_r(X,A)\to \pi_r(X/A) y este mapa es un iso si 2\leq r\leq m+n y es sobreyectivo si r=m+n+1.

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3 respuestas a El teorema de suspensión de Freudenthal

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