Sobre las categorías de objetos graduados

Hay una cosa que me viene molestando desde hace tiempo. Normalmente cuando definís la categoría de objetos graduados (e.g. módulos graduados), los morfismos son los de grado cero. Sin embargo podés considerar también los morfismos de grado no nulo y esto es muy útil, aparece en todos lados. Por ejemplo, en la definición de homotopía entre complejos de cadenas. O en la definición de los diferenciales en una sucesión espectral. La primera idea que me vino fue, en vez de considerar como morfismos los de grado cero, consideramos otra categoría con mismos objetos pero con los morfismos de todos los grados. No sé si esto puede llegar a ser factible pero es un poco engorroso (edito: sí, hay una manera. Ver página 610 del libro de álgebra homológica de Rotman, segunda edición.)

Sin embargo, hay una solución elegante y estructurada, y que introduce cosas útiles de por sí.

Primero, la definición básica.

Definición: Sean \mathcal{C}, I categorías, con I pequeña. La categoría de functores \mathcal{C}^I se llama categoría de \mathcal{C}-objetos I-graduados.

Ejemplo: Ab^{\mathbb{Z}} donde estamos viendo los enteros como una categoría discreta. Obtenemos los grupos abelianos graduados, i.e. familias A_*=\{A_n\}_{n\in \mathbb{Z}} de grupos abelianos. Los homomorfismos aquí son los homomorfismos graduados, i.e. f:A_*\to B_* es \{f_n:A_n\to B_n\}_{n\in \mathbb{Z}}.

Un complejo de cadenas, por ejemplo, es un objeto graduado que además tiene un diferencial.

Siguiendo en el contexto de este ejemplo, recordemos que se define el producto tensorial A_*\otimes B_* como

(A_*\otimes B_*)_n=\bigoplus\limits_{p+q=n} A_p\otimes B_q.

¿Cómo generalizar esto?

Definición: Sea (\mathcal C,\otimes) una categoría monoidal cocompleta y S un monoide. Dados A_*,B_*\in \mathcal{C}^S, definimos:

(A_*\otimes B_*)_s= \coprod\limits_{p+q=s}A_p\otimes B_q

Si no me equivoco, esta es la manera correcta de generalizar la noción introducida acá (pucha, nunca me había pasado de querer hacer algo de manera más general que el propio nLab).

Proposición: Este \otimes dota a \mathcal{C}^S de una estructura de categoría monoidal.

Definición: En el contexto de la definición de arriba, definimos un objeto \underline{hom}(A_*,B_*)\in \mathcal{C}^S mediante

\underline{hom}(A_*,B_*)_n=\hom(A_*,B_{*+n})

Proposición: Este \underline{hom} es el hom interno en \mathcal{C}^S, y por lo tanto ésta es una categoría monoidal cerrada.

En grado n, el hom interno da los homomorfismos de grado n. Creo que esta es la manera más satisfactoria de tenerlos en cuenta.

No me he parado a verificar los detalles de lo que digo, pero supongo que funciona, capaz que falta alguna hipótesis por algún lugar, no sé. En todo caso, cuando S son los enteros y \mathcal C es una categoría de módulos, funciona.

Comentario: La categoría de complejos de cadenas de módulos también es monoidal cerrada, con el mismo producto tensorial que arriba.

Comentario 2: Luego de escribir el post me di cuenta que no era necesario hablar del producto tensorial a los efectos que yo quería considerar, porque para considerar un hom interno no es necesario pasar por la estructura monoidal, i.e. podemos considerar la estructura de categoría cerrada a secas, sin pedirle monoidal. Pero no se me pasó antes por la cabeza porque si las categorías monoidales cerradas las veo a menudo (y también las monoidales a secas), las cerradas a secas no. De todas formas, lo dicho sobre productos tensoriales es interesante de por sí.

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