Equivalentes, o chiquita y esas cosas (2)

Hace unos meses escribí un post cuyo título era: Equivalentes, o chiquita y esas cosas, post que he arreglado bastante estos últimos días. Ahora voy a seguir hablando un poco de estas cosas y otras que andan en la vuelta, y cómo nos ayudan para determinar si una serie o una integral impropia convergen.

Primera parte: repaso sobre equivalentes y órdenes de infinitos para sucesiones reales.

Primero quiero recordar algunas cosas bien conocidas (y demostradas en las notas a las que linkeé al final del post anterior) sobre órdenes de crecimiento asintótico.

Si 0<p<q, 1<a<b, 0<p_2<q_2, 1<\tilde a, entonces tenemos:

\log(n)\ll n^p \ll n^q \ll a^{n^{p_2}} \ll b^{n^{p_2}} \ll \tilde a^{n^{q_2}}

Si además q_2\leq 1, entonces al final de esa cadena podemos agregar \ll n! \ll n^n.

Recordemos ciertas propiedades básicas.

  • a_n,b_n\ll c_n \Rightarrow a_n+b_n\ll c_n
  • a_n\ll b_n \Rightarrow Ca_n\ll Db_n para todo C,D\in \mathbb{R}^*
  • a_n\ll b_n \Rightarrow a_n+b_n\sim b_n
  • a_n\sim A_n, b_n\sim B_n \Rightarrow a_nb_n\sim A_nB_n y \frac{a_n}{b_n}\sim \frac{A_n}{B_n}
  • a_n\sim b_n \Rightarrow a_n^p\sim b_n^p para todo p\in \mathbb{R}
  • a_n \sim b_n y a_n,b_n\to +\infty \Rightarrow \log(a_n)\sim \log(b_n).

Recordar que todo esto es muy útil para calcular límites.

Hay dos observaciones a hacer inmediatamente. La primera, ¿qué pasa con las sumas? No siempre se puede remplazar por equivalentes en una suma. Por ejemplo, \sqrt{n^2+4n}-n \not\sim \sqrt{n^2}-n=0. Ahí lo que pasó es que al remplazar por equivalentes se terminó cancelando todo a cero. Si pedimos que los dos sumandos tengan el mismo signo entonces no hay drama, no va a ocurrir ese fenómeno y todo va a marchar bien:

  • a_n\sim A_n, b_n\sim B_n y a_nb_n>0 entonces a_n+b_n\sim A_n+B_n.

Sobre el caso donde un sumando tiene signo opuesto al otro, no decimos nada, y quizás debamos usar alguna técnica más fina que la de los equivalentes, sobre la cual voy a hablar más adelante.

La otra observación que hacemos es: los últimos dos ítems de la lista arriba eran de la forma a_n\sim b_n \Rightarrow f(a_n)\sim f(b_n) para f(x)=x^p y f(x)=\log(x). ¿Acaso no vale para cualquier f? No. Ejemplo: e^{n^2+n} \not\sim e^{n^2} como se ve inmediatamente haciendo el cálculo.

Si alguien conoce otras funciones f que respeten todos los equivalentes, que comente.

Segunda parte: el desarrollo de Taylor.

Una fábrica de equivalentes la da el desarrollo de Taylor. Recordemos que si f es una función suficientemente diferenciable y a es un punto de su dominio, entonces existe una función R tal que

f(x)= \sum\limits_{i=o}^k \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i + R(x).

Esta función R satisface R(x)=o((x-a)^k) cuando x\to a o incluso un poco más, es R(x)=O((x-a)^{k+1}) cuando x\to a. Definamos P_{a,k}(x):=f(x)-R(x), el k-ésimo polinomio de Taylor en a.

¿Qué pinta Taylor acá? Es la observación muy sencilla de que el polinomio de Taylor es equivalente a la función en el punto:

  • f(x)\sim_a P_{a,k}(x).

Hagamos bien explícito el vínculo con sucesiones que vamos a usar en un ratito:

  • Si u_n\to a entonces f(u_n)\sim P_{k,a}(u_n).

Tercera parte: series e integrales impropias.

Veamos cómo todo esto nos ayuda a determinar la convergencia de series o de integrales impropias.

Proposición (criterio de comparación por paso al límite): sean a_n, b_n\geq 0 a partir de algún momento y supongamos que \lim \frac{a_n}{b_n}<\infty. Entonces: si c>0, \sum a_n converge si y sólo si \sum b_n converge. En particular, si a_n\sim b_n entonces la convergencia de \sum a_n es equivalente a la de \sum b_n.
Si c=0, o sea, si a_n=o(b_n), i.e. si a_n\ll b_n, entonces la convergencia de \sum b_n implica la de \sum a_n.

Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 1. Consideremos u_n=\cos\left(\frac{\pi n^2}{2n^2+an+1}\right) con a>0. Esta condición hace que la función x\mapsto \frac{\pi x^2}{2x^2+ax+1} sea creciente. Además converge a \frac{\pi}{2}. Luego u_n\geq 0 y u_n\to 0.

Observar que si remplazáramos a lo bestia adentro del coseno por el equivalente \frac{\pi}{2}, obtendríamos una equivalencia con cero, lo cual no está bien.

Pero tenemos a Taylor. El primer polinomio de Taylor en a=\frac{\pi}{2} de la función coseno es x\mapsto -\left(x-\frac{\pi}{2}\right). Así que usando lo visto en la segunda parte, obtenemos, tras algunas manipulaciones algebraicas, que u_n es equivalente  a \frac{\pi}{2}\frac{an+1}{2n^2+an+1}.

Esta última es equivalente a \frac{a\pi}{4n}, y la serie de ésta diverge, así que por la proposición de arriba, la nuestra también.

Ejemplo 2. Considerar v_n=e^{an^2}\left(1-\frac{a}{n}\right)^{n^3} con a\neq 0. Queremos clasificar su serie. A golpe de vista puede ni siquiera ser evidente si el término general tiende a cero. Vamos a ver.

Lo primero es bajar ese n^3 a base de logaritmos:

v_n=e^{an^2+n^3\log(1-\frac{a}{n})}

El polinomio de Taylor de orden 1 del logaritmo provee el bien conocido equivalente: \log(1+u)\sim u cuando u\to 0. Ya vimos que hay que tener ojo cuando reemplazamos por un equivalente tanto adentro de una resta como adentro de una exponencial, nos puede dar fruta. Más formalmente, veamos que si lo hacemos correctamente no nos da información suficiente, y para esto usamos la notación o, que es aquí muy útil.

Tenemos \log(1+\frac{a}{n})=-\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n}). Usando esta expresión en v_n, obtenemos v_n=e^{-o(n^2)}. Y esto no nos da ninguna información. En efecto, g(n)=o(n^2) significa \lim \frac{g(n)}{n^2}=0, y esto no aporta información relevante sobre el límite de g en el infinito. Podría ser cero, podría ser una constante, podría ser infinito… Ergo, no nos sirve de nada en este caso.

Lo que hacemos es entonces ir más lejos en el desarrollo de Taylor. Obtenemos, desarrollando hasta el orden 3:

v_n = e^{-an^2-\frac{a^2n}{2}-\frac{a^3}{3}+o(1)}.

Y ahora todo bien, porque \lim \frac{v_n}{e^{-\frac{a^2n}{2}}}=e^{-\frac{a^3}{3}} entonces la convergencia de la serie del denominador implica la del numerador (y la del denominador efectivamente converge: es geométrica de razón menor que 1). Obtenemos la convergencia de la serie, y en particular, obtenemos que el término general tiende a cero.

La moraleja es: remplazar por equivalentes adentro de funciones que no son potenciales o logaritmos, no sabemos a priori si es correcto o no, pero remplazar por una expresión de la misma función con o chiquita u O grande sí es correcto. Si nos va a ayudar o no, eso lo veremos a posteriori.

Sentí la necesidad de hacer esto porque son cosas que aparecen en el curso que estoy enseñando y que a mí nunca me quedaron del todo claras, en realidad porque nunca me las enseñaron. Recuerdo haber oído en su momento, “no remplaces por un equivalente adentro de una suma si se cancela todo a cero, no está bien”, pero nunca vi un teorema claro que dijera cuándo sí está bien, cuándo no, qué hacer cuando no, por qué se puede usar el polinomio de Taylor, cuándo. Espero aquí haber respondido en mayor o menor medida a esas cuestiones, de una vez por todas.

No dije nada sobre las integrales impropias, pero es como para series.

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Una respuesta a Equivalentes, o chiquita y esas cosas (2)

  1. PaulRS dijo:

    Se me ocurre lo siguiente si estás trabajando con a_n,b_n > 0. Un poco más general que x^p, podés tomar f(x) = e^{h(\log(x))} con h uniformemente continua en {\mathbb{R}}. Creo que esta es la forma natural de transformar un \sim, que es un o(1) en el exponente, en otro o(1) en el exponente.

    Poniendo algunas restricciones más sobre los dominios, lo de arriba también generaliza el caso f(x) = \log(x).

    Saludos!

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