Homología de Hochschild topológica y la construcción barra monádica

Para una intervención reciente en un seminario escribí esto. No está muy ordenado, no pretende ser pedagógico, y la elección de temas parece ser caprichosa (responde a las necesidades para estudiar un cierto artículo) pero igual le interesa a alguien.

Hay dos cosas que se introducen:

La homología de Hocshchild topológica viene a ser, bueno, una versión topológica de la homología de Hochschild clásica para álgebras sobre un anillo. La idea es que es lo que le corresponde en el contexto topológico por el diccionario que provee la nueva álgebra, sobre la que quizás en algunos meses escriba algo.

La construcción barra es un objeto que aparentemente aparece en muchos lugares diferentes y bajo diferentes sabores. Está la “two-sided bar construction” y la “cyclic bar construction”, hay para álgebras, para grupos, para… no sé. Por lo pronto, en la construcción de la homología de Hochschild aparece la two-sided. Es un caso particular de una construcción barra puramente categórica asociada a una terna que consiste en una mónada, un álgebra para esa mónada y un functor sobre la mónada.

Según dice la gente, lo que está bueno de la construcción barra es que te da una manera canónica de construir resoluciones. Formalmente, lo que ocurre es esto. Si tenés una mónada T en una categoría \mathcal{C}, entonces la (una, en realidad) construcción barra es un \mathcal{C}-objeto simplicial B_\bullet(T,T,C), y se cumple que hay una equivalencia homotópica simplicial

B_\bullet(T,T,C)\to C_\bullet

donde C_\bullet es el \mathcal{C}-objeto simplicial constante asociado a C.

Esto se puede interpretar como que da una resolución del objeto C de una manera canónica, lo cual está muy bueno. Quizás dé más detalles en un post posterior.

Me queda una pregunta en la que pensé un par de horas pero no me di cuenta cómo resolver. Si la categoría es una categoría de módulos, estamos considerando la categoría de módulos simpliciales, o equivalentemente (Dold-Kan) la categoría de complejos de módulos. Yo querría saber más concretamente qué pinta tiene esta “resolución barra” de un módulo cualquiera. No es tan fácil como ir a la definición, porque la definición del functor en la equivalencia de Dold-Kan implica matar las imágenes de las degenerescencias, y cómo queda entonces el complejo no es tan evidente.

En concreto recuerdo haberme hecho la siguiente pregunta que parece inocente pero creo que no lo es tanto: si A y B son álgebras, ¿se puede describir mejor el cociente \frac{A\otimes B}{\langle a\otimes 1 : a\in A \rangle}?

Una cosa que me motiva especialmente a resolver este tema es este comentario en MO, que afirma que una construcción barra convenientemente elegida permite asociar functorialmente una resolución libre a un módulo cualquiera, y por lo tanto permite hacer “constructiva” la definición de los functores derivados Tor y Ext. Construcción que involucra unas arbitrariedades que siempre me chirriaron un poco.

Si llego a entender algo más sobre esto, ya contaré.

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