Integrales impropias y condiciones asintóticas

Hace poquito hablé de equivalentes, o chiquita y otras yerbas. Ahora en el curso que estoy dando me tocó dar integrales impropias, y me encontré otra vez con esa historia. Qué lo tiró. A mí no me jodan, la notación ~ para equivalentes me parece razonable, pero lo de O grande y o chiquita es una reverenda aberración. A menos que trabajes con eso todo el tiempo, no hay manera razonable de acordarse, son notaciones horrendas y que encima difieren en una simple homotecia.

Total, que al profesor del curso del cual doy el práctico le encanta esta historia y lo que es peor, asume que sus estudiantes (y sus ayudantes, ejem…) saben de qué se trata y cómo usar toda la mano. Lo cual es falso (no sólo por los ayudantes), y lo cual entrevera un montón. A ver, sobre convergencia de integrales impropias no hay mil cosas básicas para decir. Para funciones positivas, tenemos que: si f\leq g e \int g converge entonces \int f converge, lo razonable. Tanto en infinito como en un punto interior.

De este hecho se deduce que: si \lim \frac{f(x)}{g(x)}=c<\infty, entonces: si c>0, la convergencia de la integral de f es equivalente a la de g, y si c=0, la convergencia de la de g implica la de f.

Recuerdo en mis días de cálculo aprenderme estas reglas de memoria como un pobre infeliz. Ahora tienen un poco más de sentido.

Si c=1, estamos diciendo que f \sim g. Si c>0, me suena que anda la O grande en la vuelta pero realmente no tengo ganas de hacer el esfuerzo de ver cómo encaja acá la notación fatídica. Total, no estamos diciendo que son equivalentes, pero andan en la vuelta a menos de un factor, y ese factor no nos interesa cuando sólo queremos hacer el análisis poco fino de “converge o no”.

Si c=0 es que f(x)=o(g(x)) si no me equivoco. Notación horrenda, mucho menos explicativa que f \ll g.

Demostrar estas cosas no es difícil a partir del criterio de comparación con la desigualdad. Por ejemplo, si c>0 y la impropiedad es en +\infty, entonces suficientemente lejos tenemos que \frac{c}{2}\leq \frac{f(x)}{g(x)}\leq \frac{3c}{2}, multiplicá por g y aplicá la desigualdad.

Total, que no hay necesidad de hablar de oes. Mi manera de proceder es esta: la equivalencia asintótica es razonable e intuitiva, y hay una listilla de equivalentes muy útiles (tipo sin(x)\sim x en 0); para todo lo demás, existe mastercard usar las propiedades de arriba con funciones bien elegidas.

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