El término general de una integral impropia convergente no tiene por qué tender a cero, ni siquiera por qué ser acotado

Después de años de no tocar una integral impropia, yo habría dicho que sí que tiene que tender a cero, por analogía a lo que pasa con las series, pero es que la analogía está mal hecha.

Frase: Si \int_a^{+\infty} f(x) <\infty  entonces \lim_{x\to +\infty}f(x)=0.

Esa frase es falsa, incluso si la f es positiva.

Después de rebuscar un poco encontré que yo me había dado cuenta de esto en cálculo 1, al calcular una de las que le llaman integrales de Fresnel. El ejercicio 7 del práctico 10 del curso de Cálculo 1 del 2008 da un método para ver que \int_0^{+\infty}\sin(t^2) dt converge, pero obviamente, el integrando no tiende a cero.

Un ejemplo “diraquizado” de esa función sería el siguiente. Considerá la función que tiene “lomitos de burro” (tipo valor absoluto en cero, al revés) en los naturales, con altura constante 1 y con ancho \frac{2}{n^2}. Entonces esa función no tiende a cero pero su integral sí.

Lo que pasa es lo siguiente. Cuando la integral converge, uno no tiene que esperar que la función que está integrando vaya a cero, sino que el área que está sumando sea cada vez más chica,  y tanto más chica que cuando las sumás todas termina convergiendo. Pero el área que se suma puede ser cada vez más chica sin que lo sea por la “altura” de la función sino por la “anchura” (leer este párrafo con la función descrita en el párrafo anterior en mente).

El fenómeno recién descrito no puede suceder cuando estás sumando series, porque no hay “anchura”, y lo que estás sumando es “altura arriba de un punto”, cosa que es nula en una integral.

¿Cómo decir formalmente lo de hace dos párrafos? Así:

Teorema (Cauchy). Si \int_a^{+\infty} f<\infty entonces para todo h>0 se tiene que \lim_{x\to +\infty}\int_x^{x+h}f =0.

Actualizo (1/12/14) para agregar dos cosas:

1) El “término general” de una integral impropia convergente ni siquiera tiene por qué ser acotado. Por ejemplo, la integral \int_0^{+\infty}x \cos(x^4)dx se reduce mediante el cambio de variable u=x^2 a una integral de Fresnel, que es convergente.

2) Una manera rápida de ver que la integral de Fresnel \int_0^{+\infty} \cos(x^2)dx converge es la siguiente: escribir

\cos(x^2)= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin(x^2)}{2x}\right) + \frac{\sin(x^2)}{2x^2}

y después integrar y sale derechito.

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