Álgebra homotópica (1)

En este post quiero contar un poco sobre categorías de modelos, dando bastante motivación de por qué son útiles y de cómo aparecen. La idea es que una estructura de modelos para una teoría de la homotopía, o una estructura de modelos a secas, es una cierta estructura adicional que puede tener una categoría y que permite hablar de una “categoría homotópica” de la categoría, o en otras palabras, de una categoría derivada. En palabras llanas, permite invertir una cierta clase de morfismos.

La noción de categoría derivada de una categoría abeliana puede que le sea familiar al lector con cierta formación en álgebra homológica. Es un caso particular de una categoría homotópica de una categoría de modelos (attenti igual, porque también hay una noción homológica de “categoría homotópica” pero “no es la correcta” digamos). El álgebra homológica es un caso particular de lo que se llama álgebra homotópica, que es el estudio de las categorías de modelos y sus categorías de homotopía. Esto debería quedar más claro luego de lo que voy a exponer a continuación.

Definición: Una categoría de modelos es una categoría completa y cocompleta \mathcal{C} que viene con tres subcategorías de flechas: equivalencias débiles, fibraciones y cofibraciones, y que satisface ciertos axiomas que no voy a enunciar acá.

El lector familiarizado con algo de la teoría de la homotopía clásica habrá reconocido la nomenclatura. En efecto, la nomenclatura (debida a Quillen. Casi todo esto es debido a Quillen.) viene de la topología.

Ejemplo: La categoría de espacios topológicos admite la siguiente estructura de modelos. Las equivalencias débiles son los equivalencias homotópicas débiles, i.e. los mapas que inducen isomorfismos en los grupos de homotopía. Las fibraciones son las fibraciones de Serre (para el lector no familiarizado, bastará pensar en que son generalizaciones de los fibrados topológicos. Alguna vez leí que este es un ejemplo de “the old French trick of turning a theorem into a definition”, i.e. se toma una propiedad de los fibrados, a saber, levantamiento de homotopías, y se adopta como definición de un objeto más general). Las cofibraciones… no son las cofibraciones clásicas (la terminología es desafortunada aquí). Pero de hecho no tenemos ni que especificarlas, en vista de la siguiente

Proposición. Para especificar una categoría de modelos, basta especificar las fibraciones y las equivalencias débiles, o las cofibraciones y las equivalencias débiles. La tercera clase queda determinada automáticamente.

Demostrar que el ejemplo de arriba satisface todos los axiomas de una categoría de modelos no es trivial. Lleva mucho trabajo. Es que a ver, la teoría de las categorías de modelos es muy rica. La definición tiene mucha información, ergo uno puede demostrar teoremas generales fuertes que se aplican a cualquier categoría de modelos. Es razonable entonces que verificar los axiomas no sea trivial; en otras palabras, nada es gratis en la vida.

Una categoría puede tener varias estructuras de modelos, claro. La de arriba es la más común para los espacios topológicos, pero hay otra muy razonable también. Uno podría preguntarse, che, y no podremos tomar las equivalencias homotópicas posta como equivalencias débiles para una estructura de modelos? Sí, podemos, y en este caso las fibraciones van a ser las fibraciones de Hurewicz, y las cofibraciones van a ser las cofibraciones topológicas. Esto fue demostrado por Strøm en un artículo con un nombre jocoso, The homotopy category is a homotopy category. Pero es un nombre razonable. “The” homotopy category es una noción clásica: la categoría HTop, y “a homotopy category” lo vamos a definir en un ratito.

Antes de decir para qué sirve ver de esta forma a la categoría de espacios topológicos, quiero dar otro

Ejemplo. Sea R un anillo y consideremos la categoría de complejos de cadenas de R-módulos (a izquierda) que son nulos en grado negativo. Denotémosla Ch. Podemos poner una estructura de modelos en esta categoría. Las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos, i.e. los mapas de cadenas que inducen un isomorfismo en homología. Las fibraciones son los epimorfismos, y las cofibraciones son los monomorfismos con cada conúcleo proyectivo.

De nuevo, esto lleva trabajo de demostrar. Hay otra estructura obvia que uno puede poner: las fibraciones son los epimorfismos con núcleo inyectivo y las cofibraciones son los monomorfismos. También funciona.

Pensemos un poco en cómo podríamos conseguir nuestro objetivo de invertir flechas en el contexto general de modelos. La idea es que queremos invertir las equivalencias débiles, o sea, que nuestras equivalencias débiles pasen a ser isomorfismos en nuestra “categoría homotópica”. En el caso algebraico, deberíamos obtener la categoría derivada, y ésta se obtiene clásicamente invirtiendo a lo bestia los cuasi-isomorfismos (más o menos).

Y por qué no los invertimos a lo bestia en una categoría de modelos cualquiera también, y punto? Formalmente se puede localizar una categoría cualquiera respecto de una clase de flechas cualquiera. Es la solución a un problema universal obvio. El problema con esto es que no marcha. No marcha porque colapsa el universo, me refiero a que la “categoría” que obtenemos no es a priori localmente pequeña, i.e. los conjuntos de flechas pueden ser clases propias. Además no tenemos el menor control sobre cómo son las flechas en esta categoría construida formalmente. O sea, es inmanejable el asunto. La estructura de modelos lo vuelve todo más límpido y manejable.

En vez de inspirarnos del ejemplo algebraico nos vamos a inspirar del ejemplo topológico. La categoría homotópica clásica se define así: los objetos son espacios topológicos y los morfismos entre los objetos son las clases de homotopía entre esos objetos (i.e. dos flechas homotópicas definen la misma flecha en la categoría homotópica). En esta categoría, las equivalencias homotópicas son isomorfismos. Y se puede demostrar que de hecho esta categoría no es otra cosa que la “localización a lo bestia” que comentaba arriba respecto de las equivalencias homotópicas, esto lo vamos a ver más tarde.

Así que nos inspiramos de la topología y queremos entonces conseguir una noción de homotopía.

Recordar que el cilindro de un espacio X es el espacio X\times I donde I=[0,1]. Una homotopía entre dos mapas f,g:X\to Y es un mapa X\times I \to Y tal que en X\times {0}\cong X te da f y análogamente para g.

Definición (de mentira): Hay una noción de “objeto cilindro” en una categoría de modelos que permite definir una “homotopía” entre dos mapas, de manera formalmente similar a lo de arriba.

Nosotros queremos que la relación de homotopía entre mapas sea una relación de equivalencia, porque queremos tomar las clases de equivalencia. Pero en general no lo es. Precisamos hacer la siguiente

Definición: Un objeto A en una categoría de modelos \mathcal{C} es fibrante (resp. cofibrante) si la única flecha de A hacia el objeto final de \mathcal{C} es una fibración (resp. la única flecha del objeto inicial de \mathcal{C} hacia A es una cofibración).

Proposición: Si A es cofibrante y X es fibrante, entonces en \hom_{\mathcal{C}}(A,X) la relación de homotopía es de equivalencia. Denotaremos por [A,X] al conjunto de clases de equivalencia.

Bueno, por lo menos… Con esta proposición y la siguiente nos las vamos a poder arreglar.

Proposición: Si X\in \mathcal{C} entonces 1) existe QX \in \mathcal{C} cofibrante y una fibración acíclica QX\to X, 2) existe RX\in \mathcal{C} fibrante y una cofibración acíclica X\to RX.

Una (co)fibración acíclica es una (co)fibración que es además una equivalencia débil.

Esta proposición nos dice que tenemos “reemplazos (co)fibrantes”.

Ejemplo. Es instructivo mirar el ejemplo algebraico. En el ejemplo algebraico, se observa directamente que todos los objetos son fibrantes y que los objetos cofibrantes son los complejos proyectivos, i.e. aquellos cuyos módulos son todos proyectivos. La proposición anterior dice que todo complejo admite un cuasi-isomorfismo desde un complejo proyectivo, y esto es cierto. Es una generalización de un hecho fundamental del álgebra homológica: todo módulo admite una resolución proyectiva. En efecto, esta última afirmación se reformula como: dado un módulo M, considerá el complejo concentrado en grado 0 en M, y hay un cuasi-isomorfismo desde un complejo de proyectivos hacia M. La condición de cuasi-iso en este caso implica que el complejo de proyectivos es exacto. La generalización se prueba por inducción, acá están los detalles.

Entonces eso que hacemos siempre de “tomar un módulo y tomarle una resolución proyectiva” es un caso particular de lo que podemos hacer ahora de “tomar un objeto de una categoría de modelos y tomar un reemplazo cofibrante”. Esta analogía la retomaremos más tarde.

Definición. La categoría homotópica Ho(\mathcal{C}) de una categoría de modelos \mathcal C es la categoría que tiene los mismos objetos de $latex \mathcal{C}$, y el conjunto de flechas X\to Y es el conjunto [RQX,RQY].

Acá RQ viene a dar un “reemplazo fibrante-cofibrante”. Obviamente podríamos haber tomado QR, pero termina dando lo mismo.

La siguiente proposición acomoda un poco lo incómodo de la definición anterior:

Proposición: Si A es cofibrante y X es fibrante, entonces \hom_{Ho(\mathcal{C})}(A,X)\cong [A,X].

Si no me equivoco, en la jerga la proposición anterior se puede enunciar como “\hom_{Ho(\mathcal{C})}(A,X) tiene el buen tipo de homotopía si A es cofibrante y X es fibrante”.

Comentario: En nuestros ejemplos dimos dos estructuras de modelos para Ch y dos para Top. A final de cuentas terminan dando lo mismo, i.e. definen categorías homotópicas equivalentes.

Ejemplo: Volviendo a “The homotopy category is a homotopy category”, Strøm obtiene con su estructura de modelos en la categoría de espacios topológicos que todos los espacios son fibrantes y cofibrantes, luego \hom_{Ho(Top)}(X,Y)\cong [X,Y] siempre, consiguiendo “the” homotopy category como “a” homotopy category (la de Top con su estructura de modelos), y en particular como localización respecto de las equivalencias homotópicas, resultado que ya comentamos más arriba.

Y bueno, una cosa más que estábamos esperando y que es en efecto cierta:

Teorema: La categoría de homotopía de una categoría de modelos \mathcal{C} es isomorfa a la localización de \mathcal{C} respecto de las equivalencias débiles.

El teorema anterior dice también que, en algún sentido, lo que realmente importa en una estructura de modelos son las equivalencias débiles.

Ejemplo: Se desprende del teorema anterior que la categoría homotópica de la categoría de complejos de módulos con cualquiera de las dos estructuras que le describimos es su categoría derivada.

Ya se empieza a perfilar por qué el álgebra homológica es un caso particular de esta teoría de categorías homotópicas de categorías de modelos. Se le suele llamar álgebra homotópica a la teoría de las categorías de modelos.

Uno puede preguntarse qué pasa con los functores derivados… y es una pregunta sobre la que voy a escribir en un próximo post porque este ya está muy largo. Por lo pronto, enuncio una proposición que tenemos a la mano.

Proposición: Sean A, B módulos y sean K(A,n) y K(B,m) sus “complejos de Eilenberg-Mac Lane”, i.e. K(C,r) es un complejo concentrado en grado r con objeto C. Entonces

\hom_{Ho(Ch)}(K(A,m),K(B,n))\cong Ext_R^{n-m}(A,B).

Es decir, el hom en la categoría homotópica de la categoría de complejos está dando el Ext, es decir el hom derivado.

Algo análogo pasa para el Tor, pero para eso hay que hablar de functores derivados, y eso queda para la próxima. Quiero decir también algo sobre la correspondencia de Dold-Kan y cómo entran los objetos simpliciales en este tema, y eso quedará para un tercer post…

Fuente principal: Dwyer-Spalinski, Homotopy Theories and Model Categories.

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Una respuesta a Álgebra homotópica (1)

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