Equivalentes, o chiquita y esas cosas

Hay una cosa que se enseña en los liceos uruguayos (no en el mío) que es eso de los “equivalentes” cuando vas a calcular un límite. El nombre completo sería “equivalencia asintótica”. Hay varias nociones en la vuelta:

f(x)=o(g(x)) si \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0,

f(x)=O(g(x)) si existe una constante M>0 tal que |f(x)|\leq M|g(x)| para x suf. grande. Esto se puede reformular como \limsup_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|}<\infty. En particular, si \lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|}<\infty entonces f(x)=O(g(x)). Observar que o chiquita implica O grande, pero no al revés. o chiquita es como O grande pero para toda constante M.

f \sim g si \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1. Observar que f\sim g implica f(x)=O(g(x)).

La primera dice que f crece estrictamente más lento que g en el infinito, a veces se escribe f \ll g. La segunda dice que f no crece más rápido que g en el infinito.

La tercera viene realmente a codificar que el comportamiento asintótico de las dos funciones sea el mismo.

Hice todo en +\infty pero todo esto se traduce inmediatamente al caso de un punto a\in \mathbb R. También podemos considerar las nociones de equivalencia, o chiquita y O grande para sucesiones, claro.

Cómo usar estas nociones para calcular límites es algo que nunca supe realmente bien. Lo aprendí a los ponchazos y lo enseñé a los ponchazos también, medio a sentido común y a folklore pasado de generación en generación. Lo cierto es que nunca encontré nada sistemático y completo escrito al respecto. Ahora encontré algo. Está lindo escrito, tiene muchos ejemplos, ejercicios al final,  y queda todo bastante claro. Es muy informal, eso sí: estaría bueno encontrar una fuente bien escrita al respecto (o que algún alma caritativa con tiempo y ganas lo escribiera).

Edito, encontré otro que está lindo también, aunque solo tiene equivalentes. Y otro con órdenes.

Este post tiene una segunda parte.

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