Generalizando el teorema de las dimensiones (2)

Esta es una continuación, casi dos años después, de este post anterior.

Hagamos otra generalización, esta un poco más brutal.

Dado un complejo acotado (M,d) de módulos sobre un anillo de manera que tienen definido un rango como un número natural (por ejemplo: módulos libres sobre un anillo con número de base invariante, o módulos finitamente generados sobre un DIP: en este caso el rango es es el rango de la parte libre, como arriba), uno define la característica de Euler del complejo como \sum_{i\in \mathbb Z} (-1)^i \mathrm{rg} M_i. Los teoremas del post anterior se generalizan a: todo complejo acotado acíclico tiene característica de Euler nula. Este es el ejercicio 3.16 (i) del Rotman. Se resuelve muy fácilmente, sencillamente factorizando el complejo acotado acíclico en sucesiones exactas cortas y usando el hecho de que ya conocemos el resultado para éstas.

Fijemos un anillo R, digamos por ahora un dominio a ideales principales, y consideremos que nuestros módulos son libres finitamente generados (= proyectivos finitamente generados: recordar que en un DIP, todo proyectivo es libre). Entonces hay un isomorfismo entre K_0(R) y los enteros, de manera que si tenemos un objeto de K_0(R) que representa a un cierto módulo M, entonces le estamos asociando su rango.

Ya se están imaginando la generalización que podemos hacer. El K_0 está definido para un anillo cualquiera R. Así que lo que hacemos es: dado un complejo acotado (de módulos proyectivos finitamente generados), definimos \sum_{i\in \mathbb Z} (-1)^i [M_i] \in K_0(R), su característica de Euler. El teoremilla dice ahora que si el complejo es acíclico, entonces su característica de Euler es nula. Abajo discutimos la prueba.

Así que hemos pasado de un espacios vectoriales sobre un cuerpo, a módulos finitamente generados sobre un DIP, y a módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo cualquiera.

Podemos dar un paso más y pensar en categorías con un K_0 definido. Pero hay que tener cuidado. El resultado para sucesiones exactas cortas (el “teorema de las dimensiones clásico”) es cierto: es exactamente la definición de la suma! (esto puede ser una buena motivación para la definición de la suma en el K_0) Pero la prueba que hicimos antes del teorema para complejos acotados, factorizando un complejo acíclico en sucesiones exactas cortas, puede no funcionar en general. Para poder adaptar la prueba (y el teorema, que me imagino que puede ser falso en general), hay que poner alguna hipótesis en la categoría.

Primero pensemos en la categoría de módulos proyectivos f.g. sobre un anillo cualquiera. No tenemos núcleos/conúcleos en general (no es una categoría abeliana). Pero resulta que estamos tratando con complejos acotados. Así que podemos proceder por inducción. El último morfismo no nulo en un complejo acíclico acotado es un epimorfismo. Y el núcleo de un epimorfismo entre módulos f.g. proyectivos es f.g. proyectivo (ver abajo). Así que ya podemos ir tirando para atrás sacando núcleos y todo funciona bien.

Para observar que el núcleo de un epi entre módulos f.g. proyectivos es f.g. proyectivo: es proyectivo porque es un sumando directo de un proyectivo (el módulo del medio en la sucesión exacta corta obvia). Es finitamente generado porque el del medio es finitamente generado y el último es finitamente presentado (al ser proyectivo f.g.: proposición 3.11 y  corolario 3.13 Rotman).

Así que ya tenemos una condición que podemos imponerle a una categoría exacta donde el teorema va a funcionar: que sea cerrada por núcleos de epimorfismos.

 

Creo que es una generalización bastante grande. Es en este nivel de generalidad que el K-Book de Weibel trabaja con características de Euler.

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