Una prueba de que los grupos de homotopía son grupos

Uno puede definir los grupos de homotopía de un espacio muy fácilmente. Si n\in \mathbb{N} y (X,x_0), se define \pi_n(X,x_0) como [(S^n,s_0),(X,x_0)]_* donde s_0 es algún punto de la esfera, y ese último conjunto es el conjunto de clases de homotopía punteadas entre esos espacios punteados.

Lo que no es tan evidente es cómo darle una estructura de grupo. Si n=1 es bastante fácil, porque podemos pensar la variable en S^1 como el tiempo, entonces componer dos clases de homotopía de lazos es la clase de homotopía de la composición de los dos lazos, recorridos “uno después del otro”. Ese “uno después del otro” no tiene sentido en dimensiones más altas. Podemos, sí, darle una estructura de grupo de manera geométrica, y verificar que es un grupo, como está hecho por ejemplo en Hatcher. Lo cual está bárbaro. Pero hoy leí en el libro de Rotman otra manera de hacerlo, y me gustó, así que voy a explicar lo que entendí.

Dado un espacio punteado (X,x_0), su espacio de lazos \Omega(X,x_0) es el espacio de caminos en X basados en x_0, que es un espacio topológico con la topología compacto-abierta, y que está basado en el lazo constante c_{x_0}. Aprovechamos para observar que tenemos definido un functor \Omega:Top_*\to Top_*, definido en las flechas por composición.

Observar que el grupo fundamental es el cociente del espacio de lazos por la relación de equivalencia dada por la homotopía.

Pero en vez de hacer el cociente y tener ya un grupo, vamos a ver que el espacio de lazos es en un sentido más relajado un grupo también. Con esta manera de ver las cosas vamos a poder usar argumentos formales categóricos.

Los axiomas de grupo se pueden escribir mediante diagramas. Si \mathcal{C} es una categoría con productos finitos (en particular con un objeto final *), definimos un objeto grupo en \mathcal{C} como una terna (G,\mu,e) donde G\in\mathcal{C}, \mu:X\times X \to X es la multiplicación, y e: * \to G es la unidad, tal que estos diagramas conmutan. De esta forma, un objeto grupo en la categoría de conjuntos es un grupo. También podemos definir diagramáticamente cuándo un morfismo entre objetos grupo es un morfismo de objetos grupo, y claro, en el caso de la categoría de conjuntos esto nos da la noción usual de morfismo de grupos. Tenemos una subcategoría de \mathcal{C} dada por objetos y morfismos grupo.

Nos interesan los objetos grupo en la categoría hTop_*, la categoría de homotopía de espacios punteados, i.e. sus objetos son espacios punteados, y sus flechas son clases de homotopía punteadas de mapas punteados. Estos objetos grupo se llaman h-grupos. De esta forma, los diagramas que se consideran en su definición, “conmutan a menos de homotopía”.

Ocurre que el espacio de lazos de un espacio punteado cualquiera es un h-grupo. Esto es decir apenas más que decir que el grupo fundamental es un grupo. El “apenas más” viene porque estamos diciendo por ejemplo que el mapa multiplicación y el mapa unidad son mapas continuos en los espacios de lazos.

Observemos ahora dos cosas. Primero, que el functor de lazos pasa al cociente, definiendo un functor \Omega:hTop_*\to hTop_*, es decir, si f \simeq g entonces \Omega f \simeq \Omega g. Segundo, que este functor toma valores en la subcategoría de objetos grupo de hTop_*, i.e. en la subcategoría de h-grupos.

El abstract nonsense aparece acá. Resulta que un objeto G en una categoría con productos finitos es un objeto grupo si y sólo si el functor contravariante \hom(-,G) toma valores en la categoría de grupos. Comparar con el resultado de que el conjunto de funciones de un conjunto dado en un grupo dado tiene estructura de grupo (punto a punto). Esto es puro abstract nonsense, lema de Yoneda mediante.

Así que si X es un espacio topológico punteado cualquiera (sí, empiezo a sobreentender los puntos base), [-, \Omega X]_* toma valores en Grp.

¿Y esto en qué nos ayuda? Precisamos más magia categórica. Así como definimos un objeto grupo en una categoría con productos finitos, se define un objeto cogrupo en una categoría con coproductos finitos, dando vuelta las flechas. Análogamente con los morfismos de objetos cogrupo. Observar que el resultado de abstract nonsense de recién se dualiza a: C es un objeto cogrupo si y sólo si \hom(C,-) toma valores en Grp.

Con todo este abstract nonsense deducimos rápidamente esto. Sea (F,G) un par adjunto de functores donde F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{C} y \mathcal{C} tiene productos finitos. Entonces si C\in \mathcal{C} es tal que GC es un objeto grupo, se tiene que FC es un objeto cogrupo.

Bárbaro, así que ahora nos preguntamos si el functor de lazos tiene un adjunto a izquierda.

Lo tiene, y no es difícil de determinar. Surge de la existencia de ciertos objetos exponenciales en la categoría de espacios topológicos punteados. Es decir: el intervalo I es suficientemente lindo (localmente compacto y Hausdorff, en particular compactamente generado) como para que se tenga la siguiente adjunción enriquecida (i.e. homeomorfismo natural en ambas variables):

\hom(Z\times I,X) \Leftrightarrow \hom(Z,X^I)

para todos espacios punteados X,Z.

Ahora bien, en X^I vive \Omega(X) como subespacio. La adjunción de arriba es muy sencilla (“currificar”), lo cual nos permite determinar fácilmente qué está del lado izquierdo cuando a la derecha ponemos [Z, \Omega(X)]_*, y es exactamente [\Sigma(Z),X]_* donde \Sigma denota la suspensión reducida (uno podría decir que esta es una manera de llegar a la definición de la suspensión reducida).

Bárbaro, entonces como el espacio de lazos es un H-grupo, i.e. un objeto grupo en hTop_*, entonces la suspensión reducida es un H-cogrupo, i.e. un objeto cogrupo en hTop_*.

Con un resultado topológico adicional, ya tenemos todo lo necesario. Hay que observar que \Sigma S^{n-1}=S^n, de manera que S^n es un H-cogrupo. Ya está, los \pi_n son grupos para n\geq 1, pues  \pi_n(X)=[S^n,X]_*.

Sacamos también el resultado de que el \pi_n es abeliano para latex n\geq 2. En efecto, aprovechando la adjunción, tenemos que \pi_n(X)=\pi_1(\Omega^{n-1}(X)), y no es difícil probar que el grupo fundamental de un H-grupo es abeliano (es algo bastante formal).

Bueno, este post resume mi estudio de la tarde de hoy. Como conocimiento recién aprendido, es aún más posible que de costumbre que haya errores, disculpas.

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