Reordenando resultados sobre integración de 1-formas en curvas

Aquellos que hayan estudiado algo de cálculo avanzado con formas diferenciales, por ejemplo, los que hayan hecho el curso de Cálculo III en Montevideo y estudiado de las notas de vuestro servidor, conocerán la caracterización de las formas exactas que allí lleva el rótulo de “teorema 3.2.1.”:

Teorema: Sea M una variedad y \omega\in \Omega^1(M). Entonces \omega es exacta si y sólo si integra cero sobre toda curva cerrada diferenciable (a trozos) en M.

Con conocer apenas la definición de la cohomología de de Rham uno se da cuenta que, de hecho, este teorema implica que una cierta función es inyectiva. A saber, la función que le asocia a una clase de cohomología de una 1-forma la función que toma como variable una curva cerrada y devuelve la integral de nuestra forma sobre esta curva. (El teorema dice un poco más que esto, porque en la implicación recíproca no se precisa que la forma sea cerrada, mientras que una clase de cohomología lo es de una forma -cerrada- por definición).

Pero esa función, ¿está bien definida? A priori esa integral podría depender del representante de la clase de cohomología de la curva. Pero no, no depende, porque si \eta = \omega + df entonces el teorema de arriba implica que al integrar, la integral de df da cero.

Ahora bien, si el lector siguió estudiando esas notas, habrá llegado a la siguiente

Proposición: Sea M una variedad y \alpha, \gamma dos curvas cerradas diferenciables y homotópicas. Si \omega\in \Omega^1(M) es cerrada, entonces \int_\alpha \omega = \int_\gamma \omega.

que lleva el número 6.9.5, y se dará cuenta de que este resultado sigue dando vueltas sobre lo mismo, y nos dice que en realidad, la función que describimos arriba, que le asocia a una curva diferenciable (a trozos [me cansó lo de los trozos, lo voy a dejar por el camino]) la integral sobre esa curva de una 1-forma cerrada fija, depende solo de la clase de homotopía de la curva.

El lector audaz se ve entonces llevado a hacer la siguiente

Afirmación: si q\in M, hay una función inyectiva
\Phi: H^1_{dR}(M) \to Hom(\pi_1(M,q), \mathbb{R}), definida como \Phi([\omega])([\gamma])=\int_{\tilde \gamma} \omega, donde \tilde \gamma es una curva diferenciable en la misma clase de homotopía que \gamma (se puede probar que siempre existe: el “teorema de aproximación de Whitney” afirma que cualquier mapa continuo entre variedades con borde es homotópico a un mapa diferenciable).

Esta afirmación dice esencialmente lo que dicen la proposición y el teorema anteriores. Y es cierta.

Es una consecuencia de un caso particular del teorema de de Rham que esta función es de hecho también sobreyectiva! Es decir, todo morfismo de grupos que toma una clase de homotopía de una curva continua y le asocia un número real, es de hecho de la forma “integrar una 1-forma dada sobre la curva” (sobre una curva diferenciable homotópica a la dada, para ser exactos).

(Esa afirmación me hace acordar formalmente a uno de los teoremas de representación de Riesz, ese que dice que todo funcional lineal positivo es de la forma integrar respecto de una medida, con hipótesis que no recuerdo bien. Pero debe ser un parecido formal, nomás, digo yo.)

Más en general, el teorema de de Rham dice que la cohomología de de Rham y la cohomología singular se determinan mutuamente, via un mapa similar al definido arriba.

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