Una prueba de un teorema de Wedderburn

Hay un teorema famoso de Wedderburn (en inglés le llaman “Wedderburn’s little theorem”) que dice que todo anillo finito con división es un cuerpo. Es divertido porque es uno de esos enunciados que uno puede entender relativamente rápido en su formación matemática pero puede entender un poco menos rápido su demostración.

La que yo había visto (léase: sabía que existía y nunca me molesté en mirar) es la que (si mal no recuerdo) está en el libro de Dummit & Foote: a través de conteo usando acciones y clases de conjugación, y alguna cosa con polinomios ciclotómicos.

Pero ahora me topé con otra que es linda porque pone en juego la teoría básica de las álgebras centrales simples (como puede encontrarse bien expuesta por ejemplo en el libro de Lorenz y Levy, Algebra vol II. Fields with structure, algebras and additional topics).

Teorema: todo anillo finito con división es un cuerpo.

Demostración: Sea D un anillo finito con división. En particular el centro F:=Z(D) es un cuerpo. Así que D es una F-álgebra con división. Como D es finita, obviamente F también lo es: tiene un cardinal que llamaremos q.

Como D es con división, todo subcuerpo maximal L de D tiene dimensión d sobre F, donde d=deg(D)=\sqrt{dim_F(D)}. Pero existe un único cuerpo finito de cardinal q^d a menos de isomorfismo, así que si L_1,L_2 son subcuerpos maximales de D, existe un isomorfismo de F-álgebras \varphi:L_1\to L_2.

Por el teorema de Skolem-Noether, este isomorfismo es inducido por un automorfismo interno de D. Es decir, existe x\in D^\times tal que \varphi(a)=xax^{-1} para todo a\in L.

De esta forma, si L\subset D es un subcuerpo maximal, entonces todo subcuerpo maximal de D es de la forma xLx^{-1} para algún x\in D^\times.

Ahora bien, si d\in D^\times entonces d pertenece a algún subcuerpo maximal. De lo anterior deducimos que

D^\times= \bigcup_{x\in D^\times} xL^\times x^{-1}

Pero esto está expresando un grupo finito, el grupo multiplicativo de D, como unión de clases de conjugación del subgrupo L^\times. Esto no es posible para ningún subgrupo propio (teorema general de teoría de grupos), de manera que L^\times=D^\times, luego L=D y entonces D es un cuerpo. \square

Corolario: el grupo de Brauer de un cuerpo finito es trivial.

En efecto, si D es un álgebra con división de dimensión finita sobre un cuerpo finito F, entonces por el teorema anterior D es un cuerpo, así que su centro es D: la única F-álgebra central con división es entonces F. \square

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