Intentando imaginarse el plano proyectivo

Una y otra vez me encuentro con el espacio proyectivo, y una y otra vez tengo problemas para entenderlo. No me contento con manipular coordenadas homogéneas sin entender lo que pasa.

Hacer los dibujos para este post me aburre mucho, así que, lector, deberá usted imaginarse todo lo que digo (¡esto es muy importante!).

Fijo notaciones: \mathbb{A}^2 es el plano usual, \mathbb{A}^1 es la recta usual, y \mathbb{A}^0 es un punto. Este post no trata de dar los detalles técnicos sino la idea. (Digamos sin embargo que todo lo que diré funciona sobre cualquier cuerpo F, de manera que  \mathbb{A}^n=F^n por definición.)

Primero, algo de motivación. Supongamos que tenemos la hipérbola xy=1 en el plano. Esta curva tiene una asíntota, la recta y=0. Nos gustaría poder darle sentido a la expresión “la hipérbola y su asíntota se cortan en el infinito”.

Para ello hacemos lo siguiente. Agreguemos una coordenada igual a 1 al final. Es decir, en vez de pensar en los puntos (x,y) pensemos en los puntos (x,y,1). De esta manera, pensamos al plano como un plano paralelo a z=0 en tres dimensiones. Cada punto de este plano determina una única recta por el origen. Las rectas por el origen que cortan a este plano son las que no están contenidas en z=0.

Volviendo a nuestro problema, podríamos decir que la hipérbola y la recta que teníamos se cortan “en la dirección de (1,0)” en el plano, y pensando de nuevo el plano como z=1, diremos que se intersectan en el punto (1,0,0), que no pertenece al plano z=1.

Entonces, si al plano, que podemos pensar como el plano z=1, o equivalentemente, como el conjunto de rectas por el origen en el espacio no contenidas en el plano z=0, le agregamos el conjunto de rectas por el origen contenidas en z=0, podemos decir que hemos agregado todas las “direcciones en el infinito” que queríamos.

Acabamos de describir el plano proyectivo \mathbb{P}^2, pues, como el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen. O también, como unión de un plano usual con el conjunto de rectas por el origen en un plano (el plano z=0), que determinan las “direcciones en el infinito”.

Este conjunto de rectas por el origen es, de hecho, lo que se llama la recta proyectiva \mathbb{P}^1, de manera que la descripción de arriba es \mathbb{P}^2= \mathbb{A}^2 \sqcup \mathbb{P}^1. Esta terminología es coherente, pues lo que hemos hecho es agregar un “punto en el infinito” a la recta: en efecto, todas las rectas salvo una tienen bien definida una pendiente.

De esta forma, hemos descrito el plano proyectivo de la siguiente manera: un plano usual, más una recta, más un punto. Los puntos de la recta determinan todas las puntos en el infinito posibles salvo uno, por ello está el punto final. Esta unión es disjunta.

Simbólicamente, tenemos \mathbb{P}^2=\mathbb{A}^2 \sqcup \mathbb{A}^1 \sqcup \mathbb{A}^0.

Otra imagen mental a tener en cuenta es esta. Las rectas por el origen en el espacio están en correspondencia con los puntos de la esfera en la que identificamos puntos antipodales. Un conjunto de representantes de la esfera bajo esta identificación es por ejemplo el hemisferio sur con el ecuador, en el que los puntos antipodales del ecuador están identificados. El hemisferio sur (sin el ecuador) está en correspondencia con un plano usual. El ecuador sin un punto está en correspondencia con una recta usual. Y tenemos un punto final. Esta es la misma descomposición que describimos más arriba. (Es una descomposición celular).

Las coordenadas homogéneas son lo siguiente. Observar que el plano proyectivo (rectas por el origen en el espacio) está en correspondencia con el cociente del espacio sin el origen por la relación de equivalencia: dos puntos son equivalentes si están en la misma recta por el origen, es decir, si uno es un múltiplo del otro. Obviamente, para considerar una recta no tenemos por qué considerarla toda sino tan solo un representante de ella: su dirección. Escribamos un punto de este cociente como [x,y,z]; esto es lo que se conoce como coordenadas homogéneas de un punto del plano proyectivo.

Otra manera de describir la descomposición de arriba: todo punto [x,y,z] del plano proyectivo puede representarse de una y una sola de las siguientes tres formas:

[x,y,1]: si z\neq 0, basta dividir el punto por z. Estos puntos corresponden a \mathbb{A}^2.

[x,1,0]: si z=0 pero y\neq 0, basta dividir el punto por y. Estos puntos corresponden a \mathbb{A}^1.

[1,0,0]: si z=y=0 pero x\neq 0, basta dividir el punto por x. Este es el punto que queda: \mathbb{A}^0.

Así hemos descrito todos los puntos (recordar que excluimos expresamente el origen en el cociente de arriba).

Ojalá pudiera dar una intuición así para el espacio proyectivo sobre un anillo conmutativo R, pero las cosas se ponen feas y no tengo ninguna intuición al respecto (hay que decir qué quiere decir “recta” en R^{n+1}; en primer lugar uno podría decir que es un sumando directo de R^{n+1} que es un submódulo libre de rango 1, pero parece que la hipótesis de “libre” es muy fuerte, entonces uno quiere poner sencillamente “proyectivo (que lo es necesariamente, al ser un sumando de R^{n+1}) de rango 1”, pero ¿qué significa que un módulo proyectivo tenga rango 1? Y ahí las cosas se ponen complicadas e inimaginables para mí…)

(Ahora voy a intentar entender las -variedades- proyectivas, pero no creo que haya un post sobre intuición al respecto de esto en ningún momento cercano, lamentablemente…)

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