Una observación boba sobre acciones

Estudiando las propiedades de la acción del grupo fundamental de un espacio sobre sus fibras, me encontré con la siguiente observación trivial, que apunto para no olvidarme.

Recordemos que una acción de un grupo G en un conjunto X es

transitiva si para todo x,y\in X existe g\in G tal que g\cdot x=y,
libre si g\cdot x=x para algún x\in X entonces g=e.

Observemos primero que la acción es libre si y sólo si g\cdot x=h\cdot x para algún x\in X entonces g=h. En efecto, g\cdot x=h\cdot x si y sólo si h^{-1}g \cdot x=x.

Ahora, dado x\in X, definimos la función

\varphi_x:G\to X, \varphi_x(g)=g\cdot x.

La observación boba que quería hacer es que:

– la acción es transitiva si y sólo si \varphi_x es sobreyectiva para todo x\in X,
– la acción es libre si y sólo si \varphi_x es inyectiva para todo x\in X.
– por lo tanto, la acción es libre y transitiva si y sólo si \varphi_x es biyectiva para todo x\in X, y en particular hay una biyección G\cong X.

Esto se conecta con lo de los cubrimientos así: como la acción del grupo fundamental del espacio de base en las fibras es siempre transitiva, entonces el cardinal de las fibras siempre es menor o igual al cardinal del grupo fundamental del espacio de base; si el espacio de recubrimiento es además simplemente conexo, entonces la acción es libre, y por lo tanto el cardinal de las fibras es igual al cardinal del grupo fundamental del espacio de base.

Esto permite por ejemplo probar que un cubrimiento de una variedad topológica ( espacio localmente euclídeo, Hausdorff, con base numerable) tiene que ser una variedad topológica. Lo difícil es probar que tiene base numerable, pero sabiendo que el grupo fundamental de una variedad es numerable, y usando lo anterior, no es difícil encontrar una base numerable del espacio de recubrimiento.

Edito, más de un año y medio después, para agregar otra observación.

También podemos considerar la acción de las transformaciones deck en el cubrimiento p:E\to B. Esta acción siempre es libre, por lo tanto siempre es libre en las fibras. Por otro lado, un cubrimiento es regular si y sólo si esta acción es transitiva. Así que en el caso de un cubrimiento regular, tenemos que el grupo de transformaciones deck está en biyección con cualquier fibra. Esto permite identificar la fibra con G=Aut_p(E), y la acción de G en G como la acción por traslaciones a izquierda. En conclusión, un cubrimiento regular es un ejemplo de un G-fibrado principal, donde G tiene la topología discreta. Además, recordemos que podemos expresar este grupo en términos de grupos fundamentales: G=\pi_1(B)/p_*(\pi_1(E)).

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