Un comentario sobre equivalencias adjuntas

Esto es un comentario sobre algo que me quedó en el tintero cuando escribí la monografía; en su momento dudé entre incluirlo o no, y al final opté por poner un resultado débil que es sencillo de entender, que aporta al entendimiento del asunto, pero que se podría refinar.

Me refiero a la proposición 2.3.9 de mi monografía.

En ella pruebo que si F es una equivalencia de categorías, entonces es un adjunto a izquierda (y a derecha).

Esto es muy cierto, pero se puede refinar. Cuando tratamos con equivalencias de categorías (o de adjunciones) muchas veces es conveniente dar también el dato de qué isomorfismos naturales consideraremos. Explícitamente, diré que (F,G,\eta,\epsilon) es una equivalencia de categorías si F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}, G:\mathcal{D}\to \mathcal{C} son functores y \eta:GF \Rightarrow id_{\mathcal{C}}, \epsilon:FG\Rightarrow id_{\mathcal{D}} son isomorfismos naturales.

Recordemos que (F,G,\eta,\epsilon) es una adjunción si \eta,\epsilon son apenas transformaciones naturales que satisfacen las identidades triangulares.

Lo que dice la proposición de la monografía es que dada una equivalencia de categorías F existe una adjunción (F,G,\eta,\epsilon).

Ahora, ¿debe ser esta (F,G,\eta,\epsilon) una equivalencia de categorías? La respuesta es que no necesariamente. ¿Qué es lo que falla? Observar que de hecho G es una pseudoinversa de F: al ser F una equivalencia de categorías, existe G' tal que G'F\cong id_{\mathcal{C}}, FG'\cong id_{\mathcal{D}}. En particular, G' es un adjunto a derecha de F: por unicidad de los adjuntos, existe un isomorfismo natural G\cong G'.

Lo que no podemos es pretender es que la unidad \eta y la counidad \epsilon sean de hecho isomorfismos naturales.

Definición: Una equivalencia adjunta es una cuádrupla (F,G,\eta,\epsilon) que es una adjunción y una equivalencia de categorías.

Este es un concepto que solo tiene gracia para una tal cuádrupla, y no para un functor solo (como era el caso para las adjunciones o las equivalencias).

¿Cómo se vinculan estos conceptos?

Proposición: Es lo mismo dar:
– una equivalencia de categorías F,
– una terna (F,G,\eta) donde \eta:GF \Rightarrow id_{\mathcal{C}} es un isomorfismo natural, con la propiedad de que existe un isomorfismo natural \epsilon:FG \Rightarrow id_{\mathcal{D}},
– una equivalencia adjunta (F,G,\eta,\epsilon). \square

Esto no es equivalente con dar una equivalencia de categorías (F,G,\eta,\epsilon).

En conclusión, si modificamos la counidad (o dualmente, la unidad) de una equivalencia de categorías (F,G,\eta,\epsilon), podemos conseguir una equivalencia adjunta.

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