Un resultado básico de curvatura de superficies compactas

Un resultado bien conocido y útil sobre la curvatura de una superficie compacta es el siguiente.

Teorema: Toda superficie compacta orientable M tiene un punto elíptico, es decir, un punto p\in M tal que la curvatura Gaussiana K(p) es positiva.

La manera informal de probar este teorema es la siguiente: como M es compacta, está contenida adentro de una bola bien grande. Andá achicando la bola hasta que toque por primera vez a la superficie. En ese punto, la curvatura de la superficie debe ser al menos tan grande como la curvatura de la esfera en ese punto, que es positiva (es la inversa del radio).

Esto es muy intuitivo pero no muy riguroso. Así que formalicemos esta demostración.

Lema: Sea \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^3 una curva parametrizada por longitud de arco tal que \|\alpha(s)\|\leq R:=\|\alpha(s_0)\|, para todo s suficientemente cerca de s_0\in (a,b). Entonces k(s_0)\geq \frac{1}{R}.

Demostración: Definimos f(s)=\|\alpha(s)\|^2. Calculemos su derivada segunda en s_0.

f(s)=\langle \alpha(s),\alpha(s)
f'(s)=2 \langle \alpha(s), \alpha'(s)\rangle
f''(s)=2(\langle \alpha(s), \alpha''(s)\rangle + \langle \alpha'(s),\alpha'(s) \rangle)

Evaluamos en s_0:

f''(s_0)=2(\langle \alpha(s_0),\alpha''(s_0)\rangle + \|\alpha'(s_0)\|^2)
=2(\langle \alpha(s_0),k(s_0)n(s_0)\rangle + 1)
=2(k(s_0) \langle \alpha(s_0),n(s_0) \rangle + 1)
=2(k(s_0) R\cos(\theta) + 1)

donde \theta es el ángulo formado entre \alpha(s_0) y n(s_0).

Supongamos primero que f''(s_0)>0. Entonces f tiene un mínimo local en s_0. Como por hipótesis f tiene un máximo local en s_0, entonces f es localmente constante. Por definición de f, esto prueba que \alpha es localmente un arco de circunferencia en s_0 de radio R, así que k(s_0)=\frac{1}{R} y ya está.

Supongamos ahora que f''(s_0)\leq 0. Entonces

2(k(s_0)R\cos(\theta) + 1)\leq 0

Como la curvatura de una curva siempre es positiva, entonces \cos(\theta)\in [-1,0) (no puede anularse porque en ese caso f''(s_0)=2>0).

Así que

k(s_0)R\cos(\theta)\leq -1, de donde
k(s_0)R(-\cos(\theta)) \geq 1, y por lo tanto
k(s_0)\geq \frac{1}{R(-\cos(\theta))} \geq \frac{1}{R}

probando el lema. \square

Probemos ahora el teorema.

Demostración: Como M es compacta, la función continua f:M\to \mathbb{R}, f(x)=\|x\| alcanza su máximo R en un punto p\in M.

Recordemos que las curvaturas normales en p son, a menos de un signo determinado por la orientación de M, las curvaturas de las secciones normales en p. Por el lema previo, las curvaturas de las secciones normales en p son todas al menos \frac{1}{R}. Elegimos una orientación de M de manera que este signo sea positivo, y conseguimos que las curvaturas normales de M en p son todas al menos \frac{1}{R}. (Recordar que la curvatura Gaussiana no depende de la orientación).

Como la curvatura Gaussiana de M en p es el producto de las curvaturas principales (que son curvaturas normales), deducimos que K(p)\geq \frac{1}{R^2} >0. \square

Como comentario, observar que la hipótesis de orientabilidad de M es redundante, pues toda superficie compacta es orientable (Samelson, “Orientability of Hypersurfaces in \mathbb{R}^n“, Proc. A.M.S, 33 (1969), 301-302).

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Una respuesta a Un resultado básico de curvatura de superficies compactas

  1. Joseph Pm dijo:

    ola podrias explicarme porq la suposicion q f tiene un maximo local???? gracias

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