Representaciones y categorías (parte 2)

Esta es una breve segunda parte de este post.

Lo primero que quiero observar concierne la definición de categoría preaditiva: una categoría preaditiva es exactamente una categoría enriquecida sobre la categoría de grupos abelianos.

Podemos remplazar la categoría de grupos abelianos, i.e. de Z-módulos, por la categoría de K-módulos donde K es un anillo. Una categoría enriquecida sobre K-Mod se dice a veces “categoría K-lineal”. De esta forma, una categoría preaditiva no es otra cosa que una categoría Z-lineal.

Recordemos que una categoría preaditiva con un solo objeto “es lo mismo” que un anillo, es decir, que una Z-álgebra. Análogamente, observar que una categoría K-lineal con un solo objeto “es lo mismo” que una K-álgebra.

En el post anterior vimos también que la categoría de módulos de un anillo, es decir, su categoría de representaciones, es la categoría de functores aditivos del anillo hacia Ab. Generalizando esto conseguimos que la categoría de representaciones de una K-álgebra es la categoría de functores K-lineales de \mathcal{C}_K hacia Ab. Recordar que una representación de una K-álgebra A es un morfismo de álgebras A \to End_K(M) donde M es un K-módulo.

Definimos entonces la categoría de representaciones de una categoría K-lineal \mathcal{C} como la categoría de functores K-lineales \mathcal{C}\to K-Mod.

En breve saldrá la parte 3, donde espero poner todo esto mucho más en limpio y hacer una tablita y todo. Pero voy lanzando esto que sigue en el espíritu parlanchín y poco categórico (bueno, en algún sentido) de la parte 1.

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