Un apunte trivial sobre la regla de la cadena

Una tara que tengo desde que aprendí cálculo en varias variables es relacionada con la regla de la cadena, así que voy a hacer algunas observaciones que son muy evidentes, pero que quiero poner en limpio a ver si no me las olvido más.

Sean f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m, g:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k (o definidas en abiertos de manera que se puedan componer, no es muy relevante) funciones diferenciables. Entonces si x\in \mathbb{R}^n, se tiene que

d(g\circ f)_x=dg_{f(x)} \circ df_x.

Esta es la forma de la regla de la cadena que nunca me olvido, porque aparecen transformaciones lineales y no matrices, y es bien concisa. Sobre las matrices, me interesa recordar nada más que la matriz asociada al diferencial en las bases canónicas es la matriz de derivadas parciales en el punto.

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Quiero ver el caso particular n=1 y dar expresiones explícitas para la regla de la cadena. Así que a f le voy a llamar \alpha (porque es más nombre de curva), y a g le voy a llamar f. Sea \tau\in \mathbb{R}.

Primero que nada, ¿cómo luce el diferencial d\alpha_\tau:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^m?

En este caso, la matriz asociada a d\alpha_\tau es un vector: es \alpha'(\tau).

La transformación lineal d\alpha_\tau es multiplicar por ese vector. Es decir, d\alpha_\tau(v)=\alpha'(\tau)v. En particular,

d\alpha_\tau(1)=\alpha'(\tau).

Veamos la regla de la cadena, entonces. Se tiene d(f\circ \alpha)_\tau=df_{\alpha(\tau)} \circ d\alpha_t. Si evaluamos en 1, por lo recién visto obtenemos que

(f\circ \alpha)'(\tau)=df_{\alpha(\tau)}(\alpha'(\tau)),

o en notación más física,

\left. \frac{d}{dt}\right|_{t=\tau}(f\circ \alpha)=df_{\alpha(\tau)}(\dot{\alpha}(\tau))

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