Un par de apuntes sobre teoría de Galois y elementos primitivos

Quiero registrar algunos resultados de teoría de Galois que he aprendido recientemente. Me parece que son tanto interesantes como útiles a la hora de encarar problemas prácticos.

Proposición. Sea F/K una extensión finita de Galois y sea \alpha\in F. Sea G=Gal(F/K). Entonces

irr_K(\alpha)=\prod\limits_{i=1}^r (X-\sigma_i(\alpha))

donde \sigma_i(\alpha) son los diferentes valores de \sigma(\alpha) para \sigma\in G.

Demostración. Sea f=\prod\limits_{i=1}^r (X-\sigma_i(\alpha)) y sea \sigma\in G. Como los elementos de G permutan las raíces de irr_K(\alpha) en F, entonces \sigma(f(X))=f(X). Esto significa que los coeficientes de f quedan fijos por G. Como la extensión es de Galois, tenemos entonces que f\in K[X].

De nuevo, como los elementos de G permutan las raíces en F de los polinomios irreducibles en K[X], entonces \sigma_i(\alpha) es raíz de irr_K(\alpha) para todo i. En particular, (X-\sigma_i(\alpha)) \, | \, irr_K(\alpha) en F para todo i, de donde f \, | \, irr_K(\alpha) en F por definición de f.

Pero tanto f como irr_K(\alpha) viven en K[X], luego f \, | \, irr_K(\alpha) en K. También se irr_K(\alpha)\, \ \, f pues f anula a \alpha. Como son ambos mónicos, deben ser iguales. \square

Ahora deducimos que si F/K es de Galois y \alpha\in F, entonces el grado [K(\alpha):K] es igual al número de conjugados de Galois de \alpha en F, y obtenemos un criterio muy fácil de verificar para obtener elementos primitivos (en el caso Galois):

Corolario: Sea F/K una extensión de Galois finita, y sea \alpha\in F. Entonces \#\{\sigma(\alpha):\sigma \in Gal(F/K)\}=[K(\alpha):K].

En particular, \alpha es un elemento primitivo de la extensión (i.e. F=K(\alpha)) si y sólo si \#\{\sigma(\alpha):\sigma\in Gal(F/K)\}=[F:K].

Demostración: Es inmediato a partir de la proposición, pues [K(\alpha):K] es el grado de irr_K(\alpha). \square

Bueno, de hecho, verificar que un elemento en una extensión de Galois es un elemento primitivo equivale a determinar que sólo queda fijo por la identidad, por la correspondencia de Galois.

Ahora termino comentando un teorema cuyas hipótesis a menudo son verificables con facilidad, y permiten hallar un elemento primitivo.

Proposición: Sea K un cuerpo de característica 0 y K(\alpha,\beta)/K una extensión finita tal que K(\alpha)/K y K(\beta)/K son de Galois, y K(\alpha)\cap K(\beta)=K. Entonces K(\alpha,\beta)=K(\alpha+\beta).

Demostración: Ver Galois Theory, de S. Weintraub, p. 65. \square

El resultado es cierto si sólo una de las dos extensiones simples es de Galois, pero es considerablemente más difícil de probar. Ver el teorema 7.6 de este artículo para referencias a su demostración.

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