Extensiones separables revisitadas

Este post es una continuación de Extensiones normales revisitadas.

Recién vimos que podemos caracterizar las extensiones normales de cuerpos mediante una condición en polinomios, y mediante una condición en las inmersiones en una clausura algebraica. Veamos que podemos hacer algo similar con otro concepto, el de extensión separable de cuerpos.

Definición: Un polinomio p \in F[X] es separable si las raíces de p son distintas en algún cuerpo de descomposición para p sobre F, i.e. si p se factoriza en factores lineales diferentes (es decir, no tiene raíces múltiples) en ese cuerpo de descomposición.

Observar que si K/F es una extensión, entonces p\in F[X] es separable si y sólo si p\in K[X] es separable.

De esta manera, la separabilidad de un polinomio es invariante por extensiones del cuerpo: no depende del cuerpo en el que lo estemos considerando.

Ejemplo: X^2-2 \in \mathbb{Q}[X] es separable; el polinomio X^2 es inseparable sobre cualquier cuerpo F.

Este último ejemplo sugiere que la separabilidad se vuelve interesante para polinomios irreducibles.

Caveat lector: algunos autores dicen que p\in F[X] es un polinomio separable si todos sus factores irreducibles no tienen raíces múltiples en un cuerpo de descomposición para p sobre F. Esto tiene la ventaja de que no hay polinomios inseparables “bobos” como X^2, y de hecho la noción coincide para polinomios irreducibles. Lo malo de esta definición es que no es invariante bajo extensiones de cuerpos. En efecto, si f\in F[X] es un polinomio “inseparable”, entonces si K/F es un cuerpo de descomposición para f sobre F, obviamente f\in K[X] es “separable”, pues sus factores irreducibles son lineales.

Dejemos estas cuestiones semánticas de lado momentáneamente.

Busquemos entonces ejemplos de polinomios irreducibles inseparables. Pensemos sobre \mathbb{Q}. ¿Podremos encontrar un polinomio irreducible que no pueda descomponerse como producto de factores lineales diferentes en un cuerpo de descomposición? (pausa para que el lector pondere sobre esto)

Mi intuición sugiere que esto es algo muy extraño que no debería suceder. Y no sucede, es decir, todo polinomio irreducible con coeficientes racionales es separable. Si cambiamos los coeficientes racionales por coeficientes en un cuerpo finito, también pasa lo mismo. Para encontrar un polinomio irreducible inseparable tenemos que irnos a un cuerpo de característica p infinito.

Un cuerpo F es perfecto  si todo polinomio irreducible f\in F[X] es separable.

Lo que recién dijimos es que \mathbb{Q}  y todo cuerpo finito, son perfectos.

Hay criterios para determinar la separabilidad de un polinomio que involucran e.g. a la derivada formal del polinomio, pero no es a lo que queremos ir en este post.

Definición: Una extensión K/F es separable si todo elemento de K es separable sobre F, i.e. es raíz de un polinomio en F[X] separable.

En particular, toda extensión separable es algebraica.

Observar que el polinomio mínimo de ese elemento necesariamente va a dividir a f, y si un polinomio divide a un polinomio separable es obviamente separable. Esto nos dice que es equivalente que K/F sea una extensión separable a que todo elemento de K sea raíz de un polinomio irreducible y separable en F[X], y es equivalente a que todos los polinomios mínimos sobre F de elementos de K sean separables.

De esta manera, “nuestra” definición y la definición alternativa que comentáramos antes coinciden para el concepto de “extensión separable”, i.e.: definiendo polinomio separable de cualquiera de las dos formas, y definiendo extensión separable como lo hicimos recién, conseguimos el mismo concepto.

Así como podemos describir una extensión algebraica K/F como la adjunción a F de un conjunto de raíces de polinomios de F[X], podemos hacer algo análogo con extensiones separables:

Proposición: Una extensión algebraica K/F es separable si y sólo si K se obtiene adjuntándole a F un conjunto de raíces de polinomios separables de F[X].

Comparar la proposición anterior con: una extensión K/F es normal si y sólo si K es un cuerpo de descomposición de un conjunto de polinomios de F[X].

Lema: Sea K/F una extensión algebraica. Entonces E=\{\alpha\in K: \alpha \mbox{ es separable sobre } F\} es un cuerpo intermedio F\subset E \subset K, llamado la clausura separable de F en K. Claramente E es el mayor cuerpo intermedio que es separable sobre F.

Definimos el grado de separabilidad de K sobre F como [E:F], y se nota [K:F]_{sep}

Observar que en particular, [K:F]_{sep}\leq [K:F], y K/F es separable si y sólo si [K:F]=[K:F]_{sep}.

Se puede probar que el grado de separabilidad también es “multiplicativo en torres” como el grado usual.

Teorema: Si K/F es una extensión finita, entonces el grado de separabilidad [K:F]_{sep} es igual al cardinal del conjunto de F-monomorfismos de K en una clausura algebraica \overline{F} de F.
En particular,  una extensión finita K/F es separable si y sólo si hay tantos F-monomorfismos de K en \overline{F} como el grado [K:F].

Esto caracteriza la separabilidad en el caso finito. En el caso de una extensión algebraica no necesariamente finita, observar que es separable si y sólo si toda subextensión finita es separable, así que se obtiene una caracterización similar.

Este es el resultado que anunciaba al principio, que caracteriza la separabilidad en términos de inmersiones en una clausura algebraica.

En conclusión: sea K/F una extensión finita, n=[K:F] y \overline{F} una clausura algebraica de F. Entonces:

K/F es normal si y sólo si todos los F-monomorfismos de K en \overline{F} tienen la misma imagen.
K/F es separable si y sólo si hay n F-monomorfismos de K en \overline{F}.

Por lo tanto, K/F es normal y separable, i.e. es de Galois, si y sólo si hay n F-monomorfismos de K en \overline{F}, y estos tienen todos la misma imagen.

Por ejemplo, \mathbb{Q}(\sqrt 2)/\mathbb{Q} es de Galois, porque hay dos \mathbb{Q}-monomorfismos de \mathbb{Q}(\sqrt 2) en \overline{\mathbb{Q}}, y estos tienen la misma imagen ya que una raíz cuadrada de 2 es el opuesto de la otra.

Recordar por otro lado que K/F es normal y separable si y sólo si K es un cuerpo de descomposición de un conjunto de polinomios de F[X] separables: comparar con la Proposición de arriba y el comentario posterior.

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