Extensiones normales revisitadas

Hay una caracterización de las extensiones normales de cuerpos que yo desconocía, y de hecho en algunos libros no aparece (e.g. Galois Theory de Weintraub). Supongo que será porque no es imprescindible para entender las primeras propiedades de la teoría de Galois, pero luego parece ser útil.

Teorema: Sea K/F una extensión algebraica de cuerpos. Son equivalentes:
i) Todo polinomio irreducible f\in F[X] con una raíz en K se escinde sobre K,
ii) K es el cuerpo de descomposición de una familia de polinomios en F[X],
iii) si \overline{F} es una clausura algebraica de F con F\subset K\subset \overline{F}, entonces para todo F-monomorfismo \sigma:K\to \overline{F} se tiene \sigma(K)=K, o en otras palabras, \sigma es un F-automorfismo de K,
iv) para toda extensión algebraica L/F tal que F\subset K\subset L, se cumple que todo F-monomorfismo \sigma:K\to L cumple \sigma(K)=K, o en otras palabras, \sigma es un F-automorfismo de K.

En este caso, decimos que la extensión K/F es normal.

Yo conocía las caracterizaciones i y ii, pero no las iii y iv. Observar que las últimas dos son obviamente equivalentes: claramente la cuarta implica la tercera, y la tercera implica la cuarta sencillamente incluyendo L en una clausura algebraica de F.

Lo que estamos diciendo con esas dos últimas condiciones es que K/F es normal si y sólo si toda F-inmersión de K en alguna extensión algebraica (o directamente, en la clausura algebraica) tiene la misma imagen: \sigma(K)=K para todo \sigma.

Observar que acá importa decir \sigma(K)=K, donde hay un símbolo de igualdad y no de isomorfismo. Como \sigma es un monomorfismo, entonces \sigma(K) \simeq K siempre: acá nos importa realmente la igualdad.

O sea, no estamos diciendo que haya una única \sigma, y esto es terriblemente falso, basta ver el ejemplo más sencillo: \mathbb{Q}(\sqrt 2) \subset \overline{\mathbb{Q}} tiene dos \mathbb{Q}-inmersiones diferentes, según si tomamos la raíz de 2 positiva o negativa en la imagen. Sin embargo, si bien tenemos dos inmersiones diferentes, sus imágenes son iguales.

Esto no ocurre por ejemplo con \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}): tenemos tres maneras de \mathbb{Q}-meter \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) en \overline{\mathbb{Q}}, con imágenes diferentes: podemos mandar \sqrt[3]{2} en \sqrt[3]{2}\in \mathbb{R} o en \sqrt[3]{2} \omega\in \overline{\mathbb{Q}}\setminus\mathbb{R}, donde \omega es una raíz tercera primitiva de la unidad en \mathbb{C}.

Es decir, la extensión \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q} no es normal. También podíamos verificarlo viendo que el polinomio X^3-2\in \mathbb{Q}[X] tiene una raíz en \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) pero no se escinde allí.

Observación: hay una cosa que es medio fea. Cuando decimos K\subset \overline{F}, ya estamos fijando de antemano un F-monomorfismo K\to \overline{F}, que le estamos llamando inclusión. En efecto, ¿qué significa \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\frac{\mathbb{Q}[X]}{(X^3-2)} \subset \overline{\mathbb{Q}}? Significa que estamos priorizando la inmersión que manda la clase de X en la raíz cúbica de 2 que es real, porque así de arbitrarios somos, y consideramos que la notación \sqrt[3]{2} denota que queremos la raíz real.

Me parece que sería mejor reformular la condición iii (y la iv) así: si F\subset \overline{F} es una clausura algebraica de F, entonces si \tau,\sigma:K\to \overline{F} son F-monomorfismos, se cumple que \tau(K)=\sigma(K). Escucho opiniones.

Muy próximamente, revisitaré las extensiones separables.

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