Isomorfismo natural de functores mediante el lema de Yoneda. Aplicación a categorías monoidales cerradas.

Sea \mathcal{C} una categoría. Una de las instancias más útiles del lema de Yoneda es la siguiente: si \hom_{\mathcal{C}}(-,A) \cong \hom_{\mathcal{C}}(-,B) entonces A\simeq B. Aquí \cong denota un isomorfismo natural de functores, y \simeq denota un isomorfismo de objetos.

Supongamos ahora que F,G:\mathcal{D}\to \mathcal{C} son functores. Es razonable preguntarse si \hom_{\mathcal{C}}(-,F-)\cong \hom_{\mathcal{C}}(-,G-) implica que F \cong G. Yo no me lo pregunté por primera vez en abstracto, sino porque surgía naturalmente en alguna cuestión en la que estaba pensando.

El lema de Yoneda nos asegura que va a ser FX \simeq GX para todo X\in \mathcal{D}, pero nosotros queremos saber si ese isomorfismo es natural. Observar que además introdujimos la hipótesis de naturalidad en la segunda variable (que en este contexto sí tiene sentido), y la vamos a usar.

Para demostrarlo, no vamos a invocar el lema de Yoneda, sino reconstruir parcialmente una parte de su demostración.

Teorema: Sean F,G:\mathcal{D} \to \mathcal{C} functores. Si \hom_{\mathcal{C}}(-,F-)\cong \hom_{\mathcal{C}}(-,G-) entonces F \cong G.

Demostración: Un poco larga para escribir acá. Está acá. \square

No encontré una referencia para el teorema anterior.

Corolario: Sea (\mathcal{C},\otimes) una categoría monoidal cerrada. Sea I su objeto unidad. Entonces [I,-] \cong id_{\mathcal{C}}, donde [I,-] designa el hom interno.

Demostración: Como -\otimes I\cong id_{\mathcal{C}} y -\otimes I es el adjunto a izquierda de [I,-], tenemos:

\hom_{\mathcal{C}}(-,[I,-]) \cong \hom_{\mathcal{C}}(-\otimes I,-) \cong \hom_{\mathcal{C}}(-,-)

La tesis se deduce inmediatamente del teorema anterior. \square

Ejemplo: Sea R un anillo conmutativo. Sabiendo que R-Mod es una categoría monoidal cerrada con el producto tensorial, con unidad dada por R y con hom interno dado por el hom (con codominio R-Mod), deducimos automáticamente que \hom_R (R,-)\cong id_{R-Mod}.

Este hecho se prueba fácilmente a mano, sin pasar por la adjunción tensor-hom, etc; lo interesante es observar que el resultado se generaliza a categorías monoidales cerradas.

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