Grupos simples de cardinal infinito arbitrario

Típicos ejercicios de un curso en teoría de grupos incluyen: probar que hay tantos grupos simples de orden tal, o que no hay grupos simples de orden cual.

Rara vez uno trata con grupos simples infinitos, y yo de hecho caí en cosas relacionadas recién ahora. Los ejemplos no son tan naturales en una primera instancia.

Pero tenemos una fábrica de grupos simples infinitos. Si F es un cuerpo y n \geq 3, entonces el grupo especial lineal proyectivo PSL_n(F), que es el cociente de SL_n(F) por su centro, es simple. Referencia: teorema 9.3, página 542, del libro Algebra de Lang. O este pdf que acabo de encontrar online.

Observemos que el centro de SL_n(F) consiste en las matrices escalares que en la diagonal llevan una raíz n-ésima de la unidad. Esto resulta muy creíble, recordando que el centro de GL_n(F) son las matrices escalares no nulas, y que en SL_n(F) exigimos que el determinante sea 1.

De esta manera, si F es un cuerpo infinito, entonces PSL_n(F) tiene el cardinal de F.

Para cumplir el objetivo del post (que es conseguir grupos como en el título :P), basta entonces encontrar cuerpos de cardinal infinito arbitrario.

Esto es una consecuencia directa del teorema de Löwenheim-Skolem de teoría de modelos. Como existe un cuerpo de cardinal infinito, entonces existen cuerpos de cualquier cardinal infinito.

Así que voilà, existen grupos simples de cardinal infinito arbitrario, y para ello tuvimos que pasar por un poco de teoría de modelos 😀

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